$k$ を実数の定数とする。2次方程式 $x^2 - 2kx - k + 2 = 0$ が次の条件を満たすときの $k$ の値の範囲を求める。 (9) 2つの異なる正の解をもつ (10) 正の解と負の解を1つずつもつ

1. 問題の内容

$k$ を実数の定数とする。2次方程式 $x^2 - 2kx - k + 2 = 0$ が次の条件を満たすときの $k$ の値の範囲を求める。

(9) 2つの異なる正の解をもつ

(10) 正の解と負の解を1つずつもつ

2. 解き方の手順

(9) 2つの異なる正の解をもつ条件

2次方程式 $x^2 - 2kx - k + 2 = 0$ の判別式を $D$ とする。

$D > 0$, (軸) > 0, $f(0) > 0$ が条件となる。

まず、判別式 $D$ を計算する。

$D = (-2k)^2 - 4(1)(-k + 2) = 4k^2 + 4k - 8 > 0$

$k^2 + k - 2 > 0$

$(k + 2)(k - 1) > 0$

したがって、$k < -2$ または $k > 1$ ... (1)

次に、軸について考える。

軸は $x = -\frac{-2k}{2(1)} = k > 0$ ... (2)

最後に、$f(0) = 0^2 - 2k(0) - k + 2 = -k + 2 > 0$

したがって、$k < 2$ ... (3)

(1), (2), (3) より、$1 < k < 2$

(10) 正の解と負の解を1つずつもつ条件

$f(0) < 0$ が条件となる。

$f(0) = 0^2 - 2k(0) - k + 2 = -k + 2 < 0$

したがって、$k > 2$

3. 最終的な答え

(9) $1 < k < 2$

(10) $k > 2$