次の8つの対数の式を計算します。 (1) $\log_2 16$ (2) $\log_4 \frac{1}{16}$ (3) $\log_6 3 + \log_6 12$ (4) $\log_2 \frac{4}{3} + \log_2 \frac{3}{2}$ (5) $\log_5 10 - \log_5 2$ (6) $\log_2 \frac{1}{3} - \log_2 \frac{2}{3}$ (7) $\frac{1}{2}\log_3 5 + \log_3 \sqrt{5}$ (8) $\frac{1}{2}\log_3 5 - \log_3 \frac{\sqrt{5}}{3}$

はい、承知いたしました。与えられた対数計算の問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

次の8つの対数の式を計算します。

(1) $\log_2 16$

(2) $\log_4 \frac{1}{16}$

(3) $\log_6 3 + \log_6 12$

(4) $\log_2 \frac{4}{3} + \log_2 \frac{3}{2}$

(5) $\log_5 10 - \log_5 2$

(6) $\log_2 \frac{1}{3} - \log_2 \frac{2}{3}$

(7) $\frac{1}{2}\log_3 5 + \log_3 \sqrt{5}$

(8) $\frac{1}{2}\log_3 5 - \log_3 \frac{\sqrt{5}}{3}$

2. 解き方の手順

対数の性質を利用して計算します。

(1) $\log_2 16$:

$16 = 2^4$ なので、

$\log_2 16 = \log_2 2^4 = 4$

(2) $\log_4 \frac{1}{16}$:

$\frac{1}{16} = 4^{-2}$ なので、

$\log_4 \frac{1}{16} = \log_4 4^{-2} = -2$

(3) $\log_6 3 + \log_6 12$:

対数の和は、真数の積になるので、

$\log_6 3 + \log_6 12 = \log_6 (3 \times 12) = \log_6 36 = \log_6 6^2 = 2$

(4) $\log_2 \frac{4}{3} + \log_2 \frac{3}{2}$:

対数の和は、真数の積になるので、

$\log_2 \frac{4}{3} + \log_2 \frac{3}{2} = \log_2 (\frac{4}{3} \times \frac{3}{2}) = \log_2 2 = 1$

(5) $\log_5 10 - \log_5 2$:

対数の差は、真数の商になるので、

$\log_5 10 - \log_5 2 = \log_5 \frac{10}{2} = \log_5 5 = 1$

(6) $\log_2 \frac{1}{3} - \log_2 \frac{2}{3}$:

対数の差は、真数の商になるので、

$\log_2 \frac{1}{3} - \log_2 \frac{2}{3} = \log_2 (\frac{1}{3} \div \frac{2}{3}) = \log_2 (\frac{1}{3} \times \frac{3}{2}) = \log_2 \frac{1}{2} = \log_2 2^{-1} = -1$

(7) $\frac{1}{2}\log_3 5 + \log_3 \sqrt{5}$:

$\frac{1}{2}\log_3 5 = \log_3 5^{\frac{1}{2}} = \log_3 \sqrt{5}$なので、

$\frac{1}{2}\log_3 5 + \log_3 \sqrt{5} = \log_3 \sqrt{5} + \log_3 \sqrt{5} = 2 \log_3 \sqrt{5} = \log_3 (\sqrt{5})^2 = \log_3 5$

(8) $\frac{1}{2}\log_3 5 - \log_3 \frac{\sqrt{5}}{3}$:

$\frac{1}{2}\log_3 5 = \log_3 5^{\frac{1}{2}} = \log_3 \sqrt{5}$なので、

$\frac{1}{2}\log_3 5 - \log_3 \frac{\sqrt{5}}{3} = \log_3 \sqrt{5} - \log_3 \frac{\sqrt{5}}{3} = \log_3 (\sqrt{5} \div \frac{\sqrt{5}}{3}) = \log_3 (\sqrt{5} \times \frac{3}{\sqrt{5}}) = \log_3 3 = 1$

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) -2

(3) 2

(4) 1

(5) 1

(6) -1

(7) $\log_3 5$

(8) 1