与えられた二次方程式 $\lambda^2 e^{\lambda t} + \frac{k}{m} e^{\lambda t} = 0$ を解いて、$\lambda$ を $k$ と $m$ を用いて表す問題です。

1. 問題の内容

与えられた二次方程式 $\lambda^2 e^{\lambda t} + \frac{k}{m} e^{\lambda t} = 0$ を解いて、$\lambda$ を $k$ と $m$ を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式から $e^{\lambda t}$ をくくり出すと、

$e^{\lambda t} (\lambda^2 + \frac{k}{m}) = 0$

となります。

$e^{\lambda t}$ は常に0ではないので、

$\lambda^2 + \frac{k}{m} = 0$

が成り立ちます。

$\lambda^2 = -\frac{k}{m}$

となるので、$\lambda$ は

$\lambda = \pm \sqrt{-\frac{k}{m}} = \pm i \sqrt{\frac{k}{m}}$

と求まります。ここで、$i$ は虚数単位です。

3. 最終的な答え

$\lambda = \pm i \sqrt{\frac{k}{m}}$