与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 1 & 2 \\ 8 & 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 0 & 0 \\

3 & 4 & 0 & 0 \\

2 & 5 & 1 & 2 \\

8 & 1 & 3 & 4

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

この行列の行列式を計算するために、いくつかの方法がありますが、ここでは余因子展開を利用します。

まず、1行目の要素を使って余因子展開を行います。

$$

\det \begin{pmatrix}

1 & 2 & 0 & 0 \\

3 & 4 & 0 & 0 \\

2 & 5 & 1 & 2 \\

8 & 1 & 3 & 4

\end{pmatrix} = 1 \cdot C_{11} + 2 \cdot C_{12} + 0 \cdot C_{13} + 0 \cdot C_{14}

$$

ここで、$C_{ij}$は$i$行$j$列の余因子です。つまり、

$$

C_{11} = (-1)^{1+1} \det \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \end{pmatrix}

$$

$$

C_{12} = (-1)^{1+2} \det \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 8 & 3 & 4 \end{pmatrix}

$$

次に、$C_{11}$と$C_{12}$を計算します。

$$

C_{11} = 1 \cdot (4(1 \cdot 4 - 2 \cdot 3)) = 4(4-6) = 4(-2) = -8

$$

$$

C_{12} = -1 \cdot (3(1 \cdot 4 - 2 \cdot 3)) = -3(4-6) = -3(-2) = 6

$$

したがって、

$$

\det \begin{pmatrix}

1 & 2 & 0 & 0 \\

3 & 4 & 0 & 0 \\

2 & 5 & 1 & 2 \\

8 & 1 & 3 & 4

\end{pmatrix} = 1 \cdot (-8) + 2 \cdot (6) = -8 + 12 = 4

$$

別な方法として、1行目または2行目の0が多いことを利用し、2x2の行列式を作って計算することもできます。行列式を変形して、以下のようにも考えることができます。

$$

\det \begin{pmatrix}

1 & 2 & 0 & 0 \\

3 & 4 & 0 & 0 \\

2 & 5 & 1 & 2 \\

8 & 1 & 3 & 4

\end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}

$$

$$

\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = (1 \times 4) - (2 \times 3) = 4 - 6 = -2

$$

なので、

$(-2) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = (-2)(1 \cdot 4 - 2 \cdot 3) = (-2)(4-6) = (-2)(-2) = 4$

3. 最終的な答え

4