与えられた7つの命題について、それぞれの対偶を記述し、命題の真偽を判定する問題です。命題が偽である場合は、反例を挙げます。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

与えられた7つの命題について、それぞれの対偶を記述し、命題の真偽を判定する問題です。命題が偽である場合は、反例を挙げます。

2. 解き方の手順

各命題に対して、以下の手順で解答します。

1. 命題の対偶を作成する。命題 $P \Rightarrow Q$ の対偶は $\neg Q \Rightarrow \neg P$ です。

2. 元の命題の真偽を判定する。真であれば「真」、偽であれば「偽」と記述する。偽の場合は、反例を一つ挙げる。

3. それぞれの対偶の真偽を判定する。元の命題と対偶の真偽は一致します。

以下に各命題に対する解答を示します。

(1) $x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$

* 対偶: $x \neq 2 \Rightarrow x^2 \neq 4$

* 真偽: 偽 (反例: $x = -2$)

(2) $x = 3 \Rightarrow x^2 - x - 6 = 0$

* 対偶: $x^2 - x - 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$

* 真偽: 真

$x^2-x-6 = (x-3)(x+2)$なので、$x=3$ ならば、$x^2-x-6 = 0$は真。

(3) $x < 3 \Rightarrow x^2 < 9$

* 対偶: $x^2 \geq 9 \Rightarrow x \geq 3$

* 真偽: 偽 (反例: $x = -4$)

(4) $-1 \leq x \leq 2 \Rightarrow -1 < x < 3$

* 対偶: $x \leq -1$ または $x \geq 3 \Rightarrow x < -1$ または $x > 2$

* 真偽: 真

(5) $x \neq 1 \Rightarrow x^2 \neq 1$

* 対偶: $x^2 = 1 \Rightarrow x = 1$

* 真偽: 偽 (反例: $x = -1$)

(6) $xy = 0 \Rightarrow x = 0$ かつ $y = 0$

* 対偶: $x \neq 0$ または $y \neq 0 \Rightarrow xy \neq 0$

* 真偽: 偽 (反例: $x = 0$, $y = 1$)

(7) $xy \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ または $y \neq 0$

* 対偶: $x = 0$ かつ $y = 0 \Rightarrow xy = 0$

* 真偽: 真

3. 最終的な答え

以下に、各命題に対する対偶と真偽、および偽の場合の反例をまとめます。

(1) 対偶: $x \neq 2 \Rightarrow x^2 \neq 4$, 真偽: 偽, 反例: $x = -2$

(2) 対偶: $x^2 - x - 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$, 真偽: 真

(3) 対偶: $x^2 \geq 9 \Rightarrow x \geq 3$, 真偽: 偽, 反例: $x = -4$

(4) 対偶: $x \leq -1$ または $x \geq 3 \Rightarrow x < -1$ または $x > 2$, 真偽: 真

(5) 対偶: $x^2 = 1 \Rightarrow x = 1$, 真偽: 偽, 反例: $x = -1$

(6) 対偶: $x \neq 0$ または $y \neq 0 \Rightarrow xy \neq 0$, 真偽: 偽, 反例: $x = 0$, $y = 1$

(7) 対偶: $x = 0$ かつ $y = 0 \Rightarrow xy = 0$, 真偽: 真