$(x-2y)^5$ を展開したときの $x^2y^3$ の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(x-2y)^5$ を展開したときの $x^2y^3$ の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を利用します。 $(x-2y)^5$ の展開における一般項は、

$${}_5 C_k \cdot x^{5-k} \cdot (-2y)^k$$

ここで、$x^2y^3$ の項を求めるので、$5-k = 2$ かつ $k = 3$ となる必要があります。$k=3$ なので、

$${}_5 C_3 \cdot x^{5-3} \cdot (-2y)^3 = {}_5 C_3 \cdot x^2 \cdot (-2)^3 \cdot y^3 = {}_5 C_3 \cdot (-8) \cdot x^2 y^3$$

二項係数 ${}_5 C_3$ は、

$${}_5 C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$$

したがって、$x^2y^3$ の項は、

$$10 \cdot (-8) \cdot x^2 y^3 = -80 x^2 y^3$$

よって、$x^2y^3$ の係数は $-80$ です。

3. 最終的な答え

-80