(1) 不等式 $|3x+2| < x^2+x+1$ を満たす実数 $x$ の範囲を求めよ。 (2) $\frac{3n+2}{n^2+n+1}$ が整数となるような整数 $n$ をすべて求めよ。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $|3x+2| < x^2+x+1$ を満たす実数 $x$ の範囲を求めよ。

(2) $\frac{3n+2}{n^2+n+1}$ が整数となるような整数 $n$ をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 絶対値記号を外すために、場合分けを行う。

(i) $3x+2 \ge 0$ つまり $x \ge -\frac{2}{3}$ のとき、

$3x+2 < x^2+x+1$

$x^2-2x-1 > 0$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

$x < 1-\sqrt{2}, x > 1+\sqrt{2}$

$x \ge -\frac{2}{3}$ より、$1+\sqrt{2} < x$

(ii) $3x+2 < 0$ つまり $x < -\frac{2}{3}$ のとき、

$-3x-2 < x^2+x+1$

$x^2+4x+3 > 0$

$(x+1)(x+3) > 0$

$x < -3, x > -1$

$x < -\frac{2}{3}$ より、$x < -3$

したがって、 $x < -3$ または $1+\sqrt{2} < x$

(2) $n^2+n+1$ は常に正なので、$\frac{3n+2}{n^2+n+1}$ が整数となるのは、以下の３つの場合がある。

(i) $\frac{3n+2}{n^2+n+1} = 0$

(ii) $\frac{3n+2}{n^2+n+1} = 1$

(iii) $\frac{3n+2}{n^2+n+1} = -1$

(iv) $\frac{3n+2}{n^2+n+1} = k$ (kは整数、|k| > 1)

(i) $3n+2 = 0$ より $n = -\frac{2}{3}$ これは整数ではないので不適。

(ii) $3n+2 = n^2+n+1$

$n^2-2n-1=0$

$n = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$ これは整数ではないので不適。

(iii) $3n+2 = -(n^2+n+1)$

$n^2+4n+3=0$

$(n+1)(n+3) = 0$

$n=-1, -3$

(iv) $n=0$のとき、$\frac{3n+2}{n^2+n+1} = \frac{2}{1}=2$

$n=1$のとき、$\frac{3n+2}{n^2+n+1} = \frac{5}{3}$

$n=2$のとき、$\frac{3n+2}{n^2+n+1} = \frac{8}{7}$

$n=3$のとき、$\frac{3n+2}{n^2+n+1} = \frac{11}{13}$

$n=-2$のとき、$\frac{3n+2}{n^2+n+1} = \frac{-4}{3}$

$n=-4$のとき、$\frac{3n+2}{n^2+n+1} = \frac{-10}{13}$

$f(n)=\frac{3n+2}{n^2+n+1}$ について、$n$ が大きくなると $f(n)$ は0に近づく。

$\frac{3n+2}{n^2+n+1}=k$

$kn^2+(k-3)n+(k-2)=0$

$n=\frac{-(k-3) \pm \sqrt{(k-3)^2-4k(k-2)}}{2k}$

$n=\frac{3-k \pm \sqrt{k^2-6k+9-4k^2+8k}}{2k}$

$n=\frac{3-k \pm \sqrt{-3k^2+2k+9}}{2k}$

$-3k^2+2k+9 \ge 0$

$3k^2-2k-9 \le 0$

$k = \frac{2 \pm \sqrt{4+108}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{28}}{3}$

$k = \frac{1 \pm 2\sqrt{7}}{3}$

よって、-1.43 < k < 2.1

kは整数なので、k=-1, 0, 1, 2

k=2のとき、

$2n^2-n=0$

$n(2n-1)=0$

$n=0$

したがって、$n=-3, -1, 0$

3. 最終的な答え

(1) $x < -3$ または $x > 1+\sqrt{2}$

(2) $n = -3, -1, 0$