与えられた多項式を因数分解する問題です。 (3) $2x^3 + 3x^2 - 3x - 2$ (4) $x^3 + 3x^2 - 2x^2 - 12x - 8$

1. 問題の内容

与えられた多項式を因数分解する問題です。

(3) $2x^3 + 3x^2 - 3x - 2$

(4) $x^3 + 3x^2 - 2x^2 - 12x - 8$

2. 解き方の手順

(3) $2x^3 + 3x^2 - 3x - 2$

この多項式を因数分解します。まず、$x=1$を代入すると、$2(1)^3 + 3(1)^2 - 3(1) - 2 = 2 + 3 - 3 - 2 = 0$ となるため、$x-1$を因数に持ちます。組み立て除法を用いて、多項式を$x-1$で割ります。

```

2 3 -3 -2

1 | 2 5 2

----------------

2 5 2 0

```

したがって、$2x^3 + 3x^2 - 3x - 2 = (x-1)(2x^2 + 5x + 2)$となります。

次に、$2x^2 + 5x + 2$を因数分解します。

$2x^2 + 5x + 2 = (2x+1)(x+2)$となります。

よって、$2x^3 + 3x^2 - 3x - 2 = (x-1)(2x+1)(x+2)$です。

(4) $x^3 + 3x^2 - 2x^2 - 12x - 8$

まず、同類項をまとめます。

$x^3 + 3x^2 - 2x^2 - 12x - 8 = x^3 + x^2 - 12x - 8$

この多項式を因数分解します。まず、$x=-2$を代入すると、$(-2)^3 + (-2)^2 - 12(-2) - 8 = -8 + 4 + 24 - 8 = 12 \neq 0$となるため、$x+2$は因数ではありません。

$x=-4$を代入すると、$(-4)^3 + (-4)^2 - 12(-4) - 8 = -64 + 16 + 48 - 8 = -8 \neq 0$となるため、$x+4$は因数ではありません。

$x=4$を代入すると、$4^3 + 4^2 - 12(4) - 8 = 64 + 16 - 48 - 8 = 24 \neq 0$となるため、$x-4$は因数ではありません。

$x=-1$を代入すると、$(-1)^3 + (-1)^2 - 12(-1) - 8 = -1 + 1 + 12 - 8 = 4 \neq 0$となるため、$x+1$は因数ではありません。

正しく書き写されたか確認します。

$x^3 + x^2 - 12x - 8 = 0$

この方程式を解くのは難しいです。因数定理を用いると、整数解は-8の約数である必要があります。試行錯誤してみましょう。

x = -2 を代入: -8 + 4 + 24 - 8 = 12 (≠0)

x = -1 を代入: -1 + 1 + 12 - 8 = 4 (≠0)

x = 1 を代入: 1 + 1 - 12 - 8 = -18 (≠0)

x = 2 を代入: 8 + 4 - 24 - 8 = -20 (≠0)

x = 4 を代入: 64 + 16 - 48 - 8 = 24 (≠0)

x = -4 を代入: -64 + 16 + 48 - 8 = -8 (≠0)

画像を確認した結果、元の問題が$x^3 + 3x^2 - 2x^2 - 12x - 8 = x^3+x^2-12x-8$で正しいことが確認できました。問題文が正確ではない可能性もあります。

もし問題が間違っている場合、このままでは因数分解できません。

もし、問題が $x^3+3x^2 - 2x^2 - 12x - 8 = x^3+x^2-12x-8 = (x+2)(x^2-x-4)=0$と修正された場合、$x=-2$は解の一つ。

3. 最終的な答え

(3) $(x-1)(2x+1)(x+2)$

(4) $x^3+x^2-12x-8$ (これ以上簡単な形に因数分解できません)

もし問題が修正された場合、$x=-2$。