次の2つの不等式を解きます。 (1) $\log_3(2x+1) \ge 2$ (2) $\log_3(2x+1) \le 2$

1. 問題の内容

次の2つの不等式を解きます。

(1) $\log_3(2x+1) \ge 2$

(2) $\log_3(2x+1) \le 2$

2. 解き方の手順

(1) $\log_3(2x+1) \ge 2$ の解き方

まず、真数条件より $2x+1 > 0$ である必要があります。つまり、

$2x > -1$

$x > -\frac{1}{2}$

次に、不等式を変形します。

$\log_3(2x+1) \ge 2$

$\log_3(2x+1) \ge \log_3(3^2)$

$\log_3(2x+1) \ge \log_3(9)$

底が3で1より大きいので、真数部分の大小関係も同じになります。

$2x+1 \ge 9$

$2x \ge 8$

$x \ge 4$

真数条件 $x > -\frac{1}{2}$ と $x \ge 4$ を満たす範囲は $x \ge 4$ です。

(2) $\log_3(2x+1) \le 2$ の解き方

まず、真数条件より $2x+1 > 0$ である必要があります。つまり、

$2x > -1$

$x > -\frac{1}{2}$

次に、不等式を変形します。

$\log_3(2x+1) \le 2$

$\log_3(2x+1) \le \log_3(3^2)$

$\log_3(2x+1) \le \log_3(9)$

底が3で1より大きいので、真数部分の大小関係も同じになります。

$2x+1 \le 9$

$2x \le 8$

$x \le 4$

真数条件 $x > -\frac{1}{2}$ と $x \le 4$ を満たす範囲は $-\frac{1}{2} < x \le 4$ です。

3. 最終的な答え

(1) $x \ge 4$

(2) $-\frac{1}{2} < x \le 4$