$a \neq 0$ とする。関数 $y = ax^2 - 4ax + b$ ($1 \leq x \leq 4$) の最大値が $6$ で、最小値が $-2$ であるとき、定数 $a$, $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a \neq 0$ とする。関数 $y = ax^2 - 4ax + b$ ($1 \leq x \leq 4$) の最大値が $6$ で、最小値が $-2$ であるとき、定数 $a$, $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = a(x^2 - 4x) + b = a(x^2 - 4x + 4 - 4) + b = a(x-2)^2 - 4a + b$

軸は $x=2$ で、定義域 $1 \leq x \leq 4$ に含まれる。

したがって、$a$ の正負によって場合分けを行う。

(i) $a > 0$ のとき

下に凸の放物線なので、$x=2$ で最小値をとり、$x=4$ で最大値をとる。

最小値は $y(2) = -4a + b = -2$

最大値は $y(4) = a(4-2)^2 - 4a + b = 4a - 4a + b = b = 6$

$-4a + 6 = -2$ より、$-4a = -8$ となり、$a=2$。

$a>0$ を満たす。

したがって、$a=2$, $b=6$。

(ii) $a < 0$ のとき

上に凸の放物線なので、$x=2$ で最大値をとり、$x=4$ または $x=1$ で最小値をとる。

最大値は $y(2) = -4a + b = 6$

最小値は $x=1$ のとき $y(1) = a(1-2)^2 - 4a + b = a - 4a + b = -3a + b$

最小値は $x=4$ のとき $y(4) = a(4-2)^2 - 4a + b = 4a - 4a + b = b$

最小値は $y(1) = -3a+b = -2$ となる。

$-4a+b=6$ と $-3a+b=-2$ の連立方程式を解く。

$(-3a+b) - (-4a+b) = -2-6$

$a = -8$

$-4(-8) + b = 6$

$32 + b = 6$

$b = -26$

$a=-8 < 0$ を満たす。

したがって、$a=-8$, $b=-26$。

3. 最終的な答え

$a=2, b=6$ または $a=-8, b=-26$