問題は全部で4つあります。 (1) $x=-12$, $y=3$ のとき、$x(x+6y) + (x-2y)(x-4y)$ の値を求めよ。 (2) $x=84$ のとき、$x^2+12x+36$ の値を求めよ。 (3) $x=6.5$, $y=4$ のとき、$4x^2-9y^2$ の値を求めよ。 (4) 連続する2つの整数について、大きい方の数の2乗から2つの数の和を引くと、小さい方の数の2乗になることを証明するための穴埋め問題。 (5) 図形の性質の証明問題。線分ABの中点をOとし、半径OAの円を描く。AC=aとなる点CをOA上にとり、半径OCの円を描く。OCの長さをrとし、点Oを中心として、ACの中点を通る円の周の長さをlとする。影をつけた部分の面積をSとするとき、$S=al$ となることを証明する。

1. 問題の内容

問題は全部で4つあります。

(1) $x=-12$, $y=3$ のとき、$x(x+6y) + (x-2y)(x-4y)$ の値を求めよ。

(2) $x=84$ のとき、$x^2+12x+36$ の値を求めよ。

(3) $x=6.5$, $y=4$ のとき、$4x^2-9y^2$ の値を求めよ。

(4) 連続する2つの整数について、大きい方の数の2乗から2つの数の和を引くと、小さい方の数の2乗になることを証明するための穴埋め問題。

(5) 図形の性質の証明問題。線分ABの中点をOとし、半径OAの円を描く。AC=aとなる点CをOA上にとり、半径OCの円を描く。OCの長さをrとし、点Oを中心として、ACの中点を通る円の周の長さをlとする。影をつけた部分の面積をSとするとき、$S=al$ となることを証明する。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x(x+6y) + (x-2y)(x-4y)$ を展開します。

$x(x+6y) + (x-2y)(x-4y) = x^2 + 6xy + x^2 - 4xy - 2xy + 8y^2 = 2x^2 + 8y^2$

次に、$x=-12$, $y=3$ を代入します。

$2(-12)^2 + 8(3)^2 = 2(144) + 8(9) = 288 + 72 = 360$

(2)

$x^2+12x+36$ を因数分解します。

$x^2+12x+36 = (x+6)^2$

次に、$x=84$を代入します。

$(84+6)^2 = (90)^2 = 8100$

(3)

$4x^2-9y^2$に、$x=6.5$、$y=4$を代入します。

$4(6.5)^2 - 9(4)^2 = 4(42.25) - 9(16) = 169 - 144 = 25$

(4)

小さい方の整数を$n$とすると、大きい方の整数は $n+1$ と表される（ア）。

大きい方の数の2乗から2つの数の和を引くと、

$(n+1)^2 - (n + (n+1))$ (イ) $= (n+1)^2 - (2n+1)$ (ウ)$=n^2+2n+1-2n-1 = n^2$ (エ)$=n^2$ (オ)

したがって、連続する2つの整数では、大きい方の数の2乗から2つの数の和を引くと、小さい方の数の2乗になる。

(5)

OAの長さをRとすると、OCの長さはr。

$AC = a = R-r$

ACの中点を通る円の半径は $(R+r)/2$ なので、その円周の長さ$l$は

$l = 2π(R+r)/2 = π(R+r)$

影をつけた部分の面積 S は、外側の円の面積から内側の円の面積を引いたものなので、

$S = πR^2 - πr^2 = π(R^2 - r^2) = π(R+r)(R-r)$

ここで、$R-r = a$ および $π(R+r) = l$ なので、

$S = l a = al$

3. 最終的な答え

(1) 360

(2) 8100

(3) 25

(4) ア: $n+1$, イ: $(n+1)^2 - (n+(n+1))$, ウ: $2n+1$, エ: $n^2$, オ: $n^2$

(5) 証明完了