与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ について、ハミルトン・ケーリーの定理を用いて、$n \geq 3$ のとき $A^n = A^{n-2} + A^2 - E$ ($E$ は単位行列) を示し、これを用いて $A^{100}$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ について、ハミルトン・ケーリーの定理を用いて、$n \geq 3$ のとき $A^n = A^{n-2} + A^2 - E$ ($E$ は単位行列) を示し、これを用いて $A^{100}$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$A$ の固有多項式を求めます。

$|A - \lambda E| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 \\ 2 & 1-\lambda & 3 \\ 0 & 0 & -1-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)(1-\lambda)(-1-\lambda) = -(\lambda-1)^2(\lambda+1)$.

ハミルトン・ケーリーの定理より、

$-(A-E)^2(A+E) = 0$

$-(A^2 - 2A + E)(A+E) = 0$

$-(A^3 + A^2 - 2A^2 - 2A + A + E) = 0$

$-A^3 + A^2 + A = -A^3 -A^2 +2A^2 +2A -A -E = 0$

$A^3 - A^2 - A + E = 0$

$A^3 = A^2 + A - E$

次に、$A^{n-2}$ をかけます。

$A^n = A^{n-2}(A^2 + A - E) = A^n + A^{n-1} - A^{n-2}$

$A^n - A^{n-2} = A^{n-1} - A^{n-3}$

したがって、$n \geq 3$ のとき、$A^n = A^{n-2} + A^2 - E$ を示します。

$A^3 = A^2 + A - E$ を用います。

$A^n = A^{n-2} + A^2 - E$

$A^3 = A + A^2 - E$

$A^4 = A^2 + A^2 - E = A^2+A-E = A^3 = A^2 + A - E$

したがって、数学的帰納法より $A^n = A^2 + A - E$ (n>=3)

$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^2 + A - E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 6 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = A$

よって、$A^n = A$ for $n>=3$.

したがって、$A^{100} = A$.

3. 最終的な答え

$A^{100} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$