与えられた数式を展開または因数分解する問題です。 1. 式の展開 (1) $(a-b-6)(a-b+6)$ (2) $(x-y+5)^2$

1. 問題の内容

与えられた数式を展開または因数分解する問題です。

1. 式の展開

(1) $(a-b-6)(a-b+6)$

(2) $(x-y+5)^2$

2. 式の因数分解

(1) $(x+y)^2 + 2(x+y) - 15$

(2) $(3b-1)^2 - (b+7)^2$

3. 解き方の手順

4. 式の展開

(1) $(a-b-6)(a-b+6)$ は、$a-b = A$ と置くと、$(A-6)(A+6)$ となります。これは、$A^2 - 6^2$ の形に変形できます。$A$を元に戻すと、 $(a-b)^2 - 36$ となります。$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ なので、答えは $a^2 - 2ab + b^2 - 36$ となります。

$(a-b-6)(a-b+6) = (a-b)^2 - 6^2 = a^2 - 2ab + b^2 - 36$

(2) $(x-y+5)^2$ は、$(x-y+5)(x-y+5)$ と同じです。これを展開します。

$(x-y+5)(x-y+5) = x(x-y+5) - y(x-y+5) + 5(x-y+5)$

$= x^2 -xy + 5x -xy + y^2 -5y + 5x -5y + 25$

$= x^2 + y^2 -2xy + 10x -10y + 25$

$(x-y+5)^2 = x^2 + y^2 + 25 - 2xy + 10x - 10y$

5. 式の因数分解

(1) $(x+y)^2 + 2(x+y) - 15$ は、$x+y = X$ と置くと、$X^2 + 2X - 15$ となります。

これは、$(X+5)(X-3)$ と因数分解できます。$X$を元に戻すと、$(x+y+5)(x+y-3)$ となります。

$(x+y)^2 + 2(x+y) - 15 = (x+y+5)(x+y-3)$

(2) $(3b-1)^2 - (b+7)^2$ は、$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の形を利用します。

$((3b-1) + (b+7))((3b-1) - (b+7)) = (4b+6)(2b-8)$

$= 2(2b+3)2(b-4) = 4(2b+3)(b-4)$

$(3b-1)^2 - (b+7)^2 = 4(2b+3)(b-4)$

6. 最終的な答え

7. 式の展開

(1) $a^2 - 2ab + b^2 - 36$

(2) $x^2 + y^2 -2xy + 10x -10y + 25$

8. 式の因数分解

(1) $(x+y+5)(x+y-3)$

(2) $4(2b+3)(b-4)$