与えられた4つの式を因数分解する問題です。 (1) $3x^2 - 5x - 2$ (2) $3x^2 + 10xy + 3y^2$ (3) $x^3 + 27$ (4) $8x^3 - y^3$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解する問題です。

(1) $3x^2 - 5x - 2$

(2) $3x^2 + 10xy + 3y^2$

(3) $x^3 + 27$

(4) $8x^3 - y^3$

2. 解き方の手順

(1) $3x^2 - 5x - 2$ を因数分解します。

積が$3 \times (-2) = -6$、和が$-5$となる2つの数を見つけます。その2つの数は$-6$と$1$です。

したがって、$3x^2 - 5x - 2 = 3x^2 - 6x + x - 2 = 3x(x - 2) + (x - 2) = (3x + 1)(x - 2)$となります。

(2) $3x^2 + 10xy + 3y^2$ を因数分解します。

$3x^2 + 10xy + 3y^2 = (3x + y)(x + 3y)$となります。

試しに展開してみると、$3x^2 + 9xy + xy + 3y^2 = 3x^2 + 10xy + 3y^2$となるので正しいです。

(3) $x^3 + 27$ を因数分解します。

$x^3 + 27$は、$x^3 + 3^3$と表すことができます。

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$の公式を利用します。

よって、$x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)$となります。

(4) $8x^3 - y^3$ を因数分解します。

$8x^3 - y^3$は、$(2x)^3 - y^3$と表すことができます。

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$の公式を利用します。

よって、$(2x)^3 - y^3 = (2x - y)(4x^2 + 2xy + y^2)$となります。

3. 最終的な答え

(1) $(3x + 1)(x - 2)$

(2) $(3x + y)(x + 3y)$

(3) $(x + 3)(x^2 - 3x + 9)$

(4) $(2x - y)(4x^2 + 2xy + y^2)$