与えられた5つの式を展開する問題です。 (1) $(2x+5)(3x-1)$ (2) $(x+2)(x^2-2x+4)$ (3) $(3a-2b)(9a^2+6ab+4b^2)$ (4) $(a-2)^3$ (5) $(2x+y)^3$

1. 問題の内容

与えられた5つの式を展開する問題です。

(1) $(2x+5)(3x-1)$

(2) $(x+2)(x^2-2x+4)$

(3) $(3a-2b)(9a^2+6ab+4b^2)$

(4) $(a-2)^3$

(5) $(2x+y)^3$

2. 解き方の手順

(1) $(2x+5)(3x-1)$ を展開します。

$(2x+5)(3x-1) = 2x \cdot 3x + 2x \cdot (-1) + 5 \cdot 3x + 5 \cdot (-1) = 6x^2 - 2x + 15x - 5 = 6x^2 + 13x - 5$

(2) $(x+2)(x^2-2x+4)$ を展開します。

$(x+2)(x^2-2x+4) = x \cdot x^2 + x \cdot (-2x) + x \cdot 4 + 2 \cdot x^2 + 2 \cdot (-2x) + 2 \cdot 4 = x^3 - 2x^2 + 4x + 2x^2 - 4x + 8 = x^3 + 8$

これは和の3乗の公式 $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ を利用しても解けます。$a=x$, $b=2$ とすると $x^3 + 2^3 = x^3 + 8$

(3) $(3a-2b)(9a^2+6ab+4b^2)$ を展開します。

$(3a-2b)(9a^2+6ab+4b^2) = 3a \cdot 9a^2 + 3a \cdot 6ab + 3a \cdot 4b^2 - 2b \cdot 9a^2 - 2b \cdot 6ab - 2b \cdot 4b^2 = 27a^3 + 18a^2b + 12ab^2 - 18a^2b - 12ab^2 - 8b^3 = 27a^3 - 8b^3$

これは差の3乗の公式 $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ を利用しても解けます。$a=3a$, $b=2b$ とすると $(3a)^3 - (2b)^3 = 27a^3 - 8b^3$

(4) $(a-2)^3$ を展開します。

$(a-2)^3 = (a-2)(a-2)(a-2) = (a^2 - 4a + 4)(a-2) = a^3 - 4a^2 + 4a - 2a^2 + 8a - 8 = a^3 - 6a^2 + 12a - 8$

または、 $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ の公式を使うと、

$(a-2)^3 = a^3 - 3a^2 \cdot 2 + 3a \cdot 2^2 - 2^3 = a^3 - 6a^2 + 12a - 8$

(5) $(2x+y)^3$ を展開します。

$(2x+y)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2y + 3(2x)y^2 + y^3 = 8x^3 + 3(4x^2)y + 6xy^2 + y^3 = 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3$

または、 $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ の公式を使うと、

$(2x+y)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2y + 3(2x)y^2 + y^3 = 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3$

3. 最終的な答え

(1) $6x^2 + 13x - 5$

(2) $x^3 + 8$

(3) $27a^3 - 8b^3$

(4) $a^3 - 6a^2 + 12a - 8$

(5) $8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3$