与えられた数列 $\{a_n\}$ の階差数列を利用して、一般項 $a_n$ を求める問題です。 (1) 数列: 2, 3, 5, 8, 12, ... (2) 数列: 3, 6, 11, 18, 27, ...

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\{a_n\}$ の階差数列を利用して、一般項 $a_n$ を求める問題です。

(1) 数列: 2, 3, 5, 8, 12, ...

(2) 数列: 3, 6, 11, 18, 27, ...

2. 解き方の手順

(1)

与えられた数列の階差数列を $\{b_n\}$ とすると、$b_1 = 3-2 = 1$, $b_2 = 5-3 = 2$, $b_3 = 8-5 = 3$, $b_4 = 12-8 = 4$, ... となる。

よって、$b_n = n$ と推測できる。

$n \geq 2$ のとき、$a_n$ は次のように表せる。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_1 = 2$ であり、$b_k = k$ であるから、

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} k = 2 + \frac{(n-1)n}{2} = 2 + \frac{n^2-n}{2} = \frac{n^2 - n + 4}{2}$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{1^2 - 1 + 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$ となり、成り立つ。

(2)

与えられた数列の階差数列を $\{b_n\}$ とすると、$b_1 = 6-3 = 3$, $b_2 = 11-6 = 5$, $b_3 = 18-11 = 7$, $b_4 = 27-18 = 9$, ... となる。

よって、$b_n = 2n+1$ と推測できる。

$n \geq 2$ のとき、$a_n$ は次のように表せる。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_1 = 3$ であり、$b_k = 2k+1$ であるから、

$a_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k+1) = 3 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 3 + 2\frac{(n-1)n}{2} + (n-1) = 3 + n(n-1) + n - 1 = 3 + n^2 - n + n - 1 = n^2 + 2$

$n=1$ のとき、$a_1 = 1^2 + 2 = 3$ となり、成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{n^2 - n + 4}{2}$

(2) $a_n = n^2 + 2$