与えられた対数の値を求めたり、式を簡単にしたりする問題です。具体的には以下の4つの問題を解きます。 (1) $\log_9 3$ (2) $\log_{16} 2$ (3) $(\log_2 3)(\log_3 8)$ (4) $(\log_4 5)(\log_{25} 2)$

1. 問題の内容

与えられた対数の値を求めたり、式を簡単にしたりする問題です。具体的には以下の4つの問題を解きます。

(1) $\log_9 3$

(2) $\log_{16} 2$

(3) $(\log_2 3)(\log_3 8)$

(4) $(\log_4 5)(\log_{25} 2)$

2. 解き方の手順

(1) $\log_9 3$

$9 = 3^2$ なので、$3 = 9^{\frac{1}{2}}$と表せる。

したがって、$\log_9 3 = \frac{1}{2}$

(2) $\log_{16} 2$

$16 = 2^4$ なので、$2 = 16^{\frac{1}{4}}$と表せる。

したがって、$\log_{16} 2 = \frac{1}{4}$

(3) $(\log_2 3)(\log_3 8)$

対数の底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を用いると、

$\log_3 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 3}$

$(\log_2 3)(\log_3 8) = (\log_2 3) \frac{\log_2 8}{\log_2 3} = \log_2 8$

$8 = 2^3$ なので、$\log_2 8 = 3$

したがって、$(\log_2 3)(\log_3 8) = 3$

(4) $(\log_4 5)(\log_{25} 2)$

対数の底の変換公式を用いると、

$\log_4 5 = \frac{\log_2 5}{\log_2 4} = \frac{\log_2 5}{2}$

$\log_{25} 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 25} = \frac{1}{\log_2 5^2} = \frac{1}{2\log_2 5}$

$(\log_4 5)(\log_{25} 2) = \frac{\log_2 5}{2} \cdot \frac{1}{2\log_2 5} = \frac{1}{4}$

したがって、$(\log_4 5)(\log_{25} 2) = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $\frac{1}{4}$

(3) 3

(4) $\frac{1}{4}$