正の整数 $A$ と $B$ があり、$A$ を 6 で割った余りが 2 で、$B$ を 6 で割った余りが 5 である。 (1) $A+3B$ を 6 で割った余りを求める。 (2) $AB$ を 6 で割った余りを求める。

1. 問題の内容

正の整数 $A$ と $B$ があり、$A$ を 6 で割った余りが 2 で、$B$ を 6 で割った余りが 5 である。

(1) $A+3B$ を 6 で割った余りを求める。

(2) $AB$ を 6 で割った余りを求める。

2. 解き方の手順

(1) $A$ を 6 で割った余りが 2 なので、$A = 6k + 2$ ( $k$ は整数) と表せる。

同様に、$B$ を 6 で割った余りが 5 なので、$B = 6l + 5$ ( $l$ は整数) と表せる。

したがって、

$A + 3B = (6k + 2) + 3(6l + 5) = 6k + 2 + 18l + 15 = 6k + 18l + 17 = 6k + 18l + 12 + 5 = 6(k + 3l + 2) + 5$.

$A + 3B$ を 6 で割った余りは 5。

(2)

$AB = (6k + 2)(6l + 5) = 36kl + 30k + 12l + 10 = 36kl + 30k + 12l + 6 + 4 = 6(6kl + 5k + 2l + 1) + 4$

$AB$ を 6 で割った余りは 4。

3. 最終的な答え

(1) 5

(2) 4