与えられた不定積分 $\int \frac{\cos(5x)}{1+\sin(5x)} dx$ を計算します。

解析学積分不定積分置換積分三角関数

2025/5/16

1. 問題の内容

与えられた不定積分

\int \frac{\cos(5x)}{1+\sin(5x)} dx

を計算します。

2. 解き方の手順

置換積分を用いて解きます。

u = 1 + \sin(5x)

とおくと、

\frac{du}{dx} = 5\cos(5x)

となります。

したがって、

du = 5\cos(5x) dx

であり、

dx = \frac{du}{5\cos(5x)}

となります。

これを用いて積分を書き換えると、

\int \frac{\cos(5x)}{1+\sin(5x)} dx = \int \frac{\cos(5x)}{u} \frac{du}{5\cos(5x)} = \int \frac{1}{5u} du = \frac{1}{5} \int \frac{1}{u} du

\int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C

(ここで

C

は積分定数) であるから、

\frac{1}{5} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{5} \ln|u| + C = \frac{1}{5} \ln|1+\sin(5x)| + C

1+\sin(5x)

は常に正なので、絶対値記号を省略できます。

3. 最終的な答え

\frac{1}{5} \ln(1+\sin(5x)) + C

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