ABを直径とする半円周上に点Pをとる。$AB=2$ であり、$\angle PAB = \theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$) とする。点PからABに下ろした垂線の足をHとする。 (1) PH, HBをそれぞれ$\theta$を用いて表せ。 (2) PH+HBの最大値と、そのときの$\theta$の値を求めよ。

1. 問題の内容

ABを直径とする半円周上に点Pをとる。$AB=2$ であり、$\angle PAB = \theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$) とする。点PからABに下ろした垂線の足をHとする。

(1) PH, HBをそれぞれ$\theta$を用いて表せ。

(2) PH+HBの最大値と、そのときの$\theta$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

三角形PABは半円に内接する三角形であるから、$\angle APB = \frac{\pi}{2}$。

したがって、$\angle PBA = \frac{\pi}{2} - \theta$。

三角形PAHにおいて、

$PH = AP \sin \theta$

$AH = AP \cos \theta$

三角形PABにおいて、

$AP = AB \cos \theta = 2 \cos \theta$

よって、

$PH = (2 \cos \theta) \sin \theta = 2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$

$HB = AB - AH = 2 - AP \cos \theta = 2 - (2 \cos \theta) \cos \theta = 2 - 2 \cos^2 \theta = 2 (1 - \cos^2 \theta) = 2 \sin^2 \theta$

(2)

$PH + HB = \sin 2\theta + 2 \sin^2 \theta = \sin 2\theta + 1 - \cos 2\theta$

ここで、$f(\theta) = \sin 2\theta - \cos 2\theta + 1$ とおくと、

$f(\theta) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2\theta - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2\theta \right) + 1 = \sqrt{2} \sin \left( 2\theta - \frac{\pi}{4} \right) + 1$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より、$-\frac{\pi}{4} < 2\theta - \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4}$。

したがって、$2\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ すなわち $\theta = \frac{3\pi}{8}$ のとき、$\sin \left( 2\theta - \frac{\pi}{4} \right)$ は最大値1をとる。

このとき、$f(\theta)$ は最大値 $\sqrt{2} + 1$ をとる。

3. 最終的な答え

(1)

$PH = \sin 2\theta$

$HB = 2\sin^2 \theta$

(2)

PH+HBの最大値は $\sqrt{2}+1$ であり、そのときの$\theta$の値は $\theta = \frac{3\pi}{8}$ である。