6つの数字 1, 1, 2, 2, 3, 3 を1列に並べる。 (1) 異なる並べ方の総数を求める。 (2) 同じ数字が隣り合わない並べ方の総数を求める。

1. 問題の内容

6つの数字 1, 1, 2, 2, 3, 3 を1列に並べる。

(1) 異なる並べ方の総数を求める。

(2) 同じ数字が隣り合わない並べ方の総数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 異なる並べ方の総数

6つの数字の中に、1が2つ、2が2つ、3が2つある。

したがって、並べ方の総数は、同じものを含む順列の公式を用いて計算できる。

$\frac{6!}{2!2!2!}$

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

$2! = 2 \times 1 = 2$

$\frac{6!}{2!2!2!} = \frac{720}{2 \times 2 \times 2} = \frac{720}{8} = 90$

(2) 同じ数字が隣り合わない並べ方の総数

まず、1, 2, 3 を並べる。これは $3! = 6$ 通り。

例えば、1 2 3 という並びを考える。

この並びの間に、もう一つの 1, 2, 3 を入れることを考える。

_ 1 _ 2 _ 3 _

4つの_に、1, 2, 3を入れる。

ここで包除原理を使う。

全体の場合の数 - (少なくとも1つの同じ数字が隣り合う場合の数) + (少なくとも2つの同じ数字が隣り合う場合の数) - (3つの同じ数字が隣り合う場合の数)

全体: $\frac{6!}{2!2!2!} = 90$

少なくとも1つ隣り合う:

例えば1が隣り合う場合を考える。11を一つのものとみなして並べる。

$\frac{5!}{2!2!} = \frac{120}{4} = 30$

同様に、2と3が隣り合う場合も30通り。

$30 \times 3 = 90$

少なくとも2つ隣り合う:

11と22が隣り合う場合。11, 22, 3, 3を並べる。$\frac{4!}{2!} = 12$

同様に11と33, 22と33が隣り合う場合も12通り。

$12 \times 3 = 36$

3つ全て隣り合う:

11, 22, 33を並べる。$3! = 6$

$90 - (90) + (36) - (6) = 30$

別の考え方:

まず、1, 2, 3を並べる。その並べ方は$3! = 6$通り。例えば、1 2 3

次に、残りの1, 2, 3を並べる。それぞれの間に挿入する。

_ 1 _ 2 _ 3 _ という4つのスペースに1, 2, 3を入れる。

1を最初に入れるとき、両端のどちらかに入れると、1が隣り合う。

1が隣り合わないように入れるためには、真ん中の2箇所に入れる必要がある。

同様に、2と3も隣り合わないように入れる必要がある。

条件を満たす並べ方の総数は30通り。

3. 最終的な答え

(1) 異なる並べ方の総数: 90通り

(2) 同じ数字が隣り合わない並べ方の総数: 30通り