与えられた4つの式をそれぞれ展開する問題です。

1. 問題の内容

与えられた4つの式をそれぞれ展開する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $(a-b-c)(a+b-c)$ を展開します。

まず、$A = a-c$ と置くと、$(A-b)(A+b)$ となり、これは和と差の積なので、$A^2 - b^2$ となります。

$A = a-c$ を代入すると、$(a-c)^2 - b^2$ となります。

$(a-c)^2 = a^2 - 2ac + c^2$ なので、最終的に $a^2 - 2ac + c^2 - b^2$ となります。

並び替えると、$a^2 - b^2 + c^2 - 2ac$となります。

(2) $(x+2)^2(x-2)$ を展開します。

まず、$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$ となります。

次に、$(x^2 + 4x + 4)(x-2)$ を展開します。

$x^2(x-2) + 4x(x-2) + 4(x-2) = x^3 - 2x^2 + 4x^2 - 8x + 4x - 8$

$= x^3 + 2x^2 - 4x - 8$ となります。

(3) $(p+1)(p^2+1)(p-1)$ を展開します。

まず、$(p+1)(p-1) = p^2 - 1$ となります。

次に、$(p^2 - 1)(p^2 + 1)$ を展開します。

これは和と差の積なので、$p^4 - 1$ となります。

(4) $(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)$ を展開します。

$(x+1)(x+7) = x^2 + 8x + 7$

$(x+3)(x+5) = x^2 + 8x + 15$

$A = x^2 + 8x$ と置くと、$(A+7)(A+15)$ となります。

$(A+7)(A+15) = A^2 + 22A + 105$

$A = x^2 + 8x$ を代入すると、$(x^2 + 8x)^2 + 22(x^2 + 8x) + 105$

$(x^2 + 8x)^2 = x^4 + 16x^3 + 64x^2$

$22(x^2 + 8x) = 22x^2 + 176x$

$x^4 + 16x^3 + 64x^2 + 22x^2 + 176x + 105 = x^4 + 16x^3 + 86x^2 + 176x + 105$

3. 最終的な答え

(1) $a^2 - b^2 + c^2 - 2ac$

(2) $x^3 + 2x^2 - 4x - 8$

(3) $p^4 - 1$

(4) $x^4 + 16x^3 + 86x^2 + 176x + 105$