与えられた行列を、対称行列と交代行列の和の形で表す。具体的には、(1)の2x2行列と(2)の3x3行列のそれぞれについて、対称行列と交代行列の和に分解する。

1. 問題の内容

与えられた行列を、対称行列と交代行列の和の形で表す。具体的には、(1)の2x2行列と(2)の3x3行列のそれぞれについて、対称行列と交代行列の和に分解する。

2. 解き方の手順

任意の正方行列$A$は、対称行列と交代行列の和として一意に表すことができる。

対称行列$S$は、転置行列が自分自身に等しい行列、つまり$S^T = S$を満たす。

交代行列$K$は、転置行列が元の行列の符号を反転させたものに等しい行列、つまり$K^T = -K$を満たす。

行列$A$を対称行列$S$と交代行列$K$の和で表すと、$A = S + K$となる。

このとき、$S = \frac{1}{2}(A + A^T)$、$K = \frac{1}{2}(A - A^T)$と表せる。

(1) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$の場合：

まず、$A^T$を計算する。

$A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

次に、対称行列$S$を計算する。

$S = \frac{1}{2}(A + A^T) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+1 & 2+3 \\ 3+2 & 4+4 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 5 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} & 4 \end{pmatrix}$

次に、交代行列$K$を計算する。

$K = \frac{1}{2}(A - A^T) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1-1 & 2-3 \\ 3-2 & 4-4 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}$

(2) $A = \begin{pmatrix} 6 & -1 & 2 \\ -3 & 0 & 5 \\ 4 & -2 & -9 \end{pmatrix}$の場合：

まず、$A^T$を計算する。

$A^T = \begin{pmatrix} 6 & -3 & 4 \\ -1 & 0 & -2 \\ 2 & 5 & -9 \end{pmatrix}$

次に、対称行列$S$を計算する。

$S = \frac{1}{2}(A + A^T) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 6+6 & -1-3 & 2+4 \\ -3-1 & 0+0 & 5-2 \\ 4+2 & -2+5 & -9-9 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 12 & -4 & 6 \\ -4 & 0 & 3 \\ 6 & 3 & -18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -2 & 3 \\ -2 & 0 & \frac{3}{2} \\ 3 & \frac{3}{2} & -9 \end{pmatrix}$

次に、交代行列$K$を計算する。

$K = \frac{1}{2}(A - A^T) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 6-6 & -1-(-3) & 2-4 \\ -3-(-1) & 0-0 & 5-(-2) \\ 4-2 & -2-5 & -9-(-9) \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 2 & -2 \\ -2 & 0 & 7 \\ 2 & -7 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & \frac{7}{2} \\ 1 & -\frac{7}{2} & 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 6 & -1 & 2 \\ -3 & 0 & 5 \\ 4 & -2 & -9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -2 & 3 \\ -2 & 0 & \frac{3}{2} \\ 3 & \frac{3}{2} & -9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & \frac{7}{2} \\ 1 & -\frac{7}{2} & 0 \end{pmatrix}$