行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$ による変換で直線 $L$ が直線 $x + 2y - 6 = 0$ に移されるとき、変換前の直線 $L$ の方程式を求める。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$ による変換で直線 $L$ が直線 $x + 2y - 6 = 0$ に移されるとき、変換前の直線 $L$ の方程式を求める。

2. 解き方の手順

変換前の点を $(x, y)$、変換後の点を $(x', y')$ とすると、

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

したがって、

$x' = 4x - 3y$

$y' = -2x + 2y$

この連立方程式を $x, y$ について解く。

まず2番目の式より、

$2x = 2y - y'$

$x = y - \frac{1}{2}y'$

これを1番目の式に代入すると、

$x' = 4(y - \frac{1}{2}y') - 3y$

$x' = 4y - 2y' - 3y$

$x' = y - 2y'$

$y = x' + 2y'$

したがって、

$x = x' + 2y' - \frac{1}{2}y' = x' + \frac{3}{2}y'$

よって、

$x = x' + \frac{3}{2}y'$

$y = x' + 2y'$

変換後の直線の方程式は $x' + 2y' - 6 = 0$ であるから、これに上記の $x, y$ の関係式を代入する。

$(x' + \frac{3}{2}y') + 2(x' + 2y') - 6 = 0$

$x' + \frac{3}{2}y' + 2x' + 4y' - 6 = 0$

$3x' + \frac{11}{2}y' - 6 = 0$

$6x' + 11y' - 12 = 0$

したがって、変換前の直線の方程式は $6x + 11y - 12 = 0$

3. 最終的な答え

$6x + 11y - 12 = 0$