関数 $f(x) = x^2 + x$ と $g(x) = \sqrt{x}$ について、$x=1$ における微分係数 $f'(1)$ と $g'(1)$ を、それぞれ定義式に基づいて求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 + x$ と $g(x) = \sqrt{x}$ について、$x=1$ における微分係数 $f'(1)$ と $g'(1)$ を、それぞれ定義式に基づいて求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^2 + x$ の場合

微分係数の定義式は、

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

である。$a=1$ のとき、

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$

$f(1+h) = (1+h)^2 + (1+h) = 1 + 2h + h^2 + 1 + h = h^2 + 3h + 2$

$f(1) = 1^2 + 1 = 2$

よって、

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 + 3h + 2 - 2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 + 3h}{h} = \lim_{h \to 0} (h+3) = 3$

(2) $g(x) = \sqrt{x}$ の場合

微分係数の定義式は、

$g'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{g(a+h) - g(a)}{h}$

である。$a=1$ のとき、

$g'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{g(1+h) - g(1)}{h}$

$g(1+h) = \sqrt{1+h}$

$g(1) = \sqrt{1} = 1$

よって、

$g'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{1+h} - 1}{h}$

分母の有理化を行う。

$g'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{1+h} - 1)(\sqrt{1+h} + 1)}{h(\sqrt{1+h} + 1)} = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h) - 1}{h(\sqrt{1+h} + 1)} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{1+h} + 1)}$

$g'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{1+h} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1+0} + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$f'(1) = 3$

$g'(1) = \frac{1}{2}$