$n$ を自然数として、関数 $g(x) = x^{2n} + 3x^{n+1} - 4x^n - 3x^{n-1} + 1$ を考える。 $g(x)$ が $I = (-\infty, \infty)$ 上で最小値を持つことを示す。

1. 問題の内容

$n$ を自然数として、関数 $g(x) = x^{2n} + 3x^{n+1} - 4x^n - 3x^{n-1} + 1$ を考える。

$g(x)$ が $I = (-\infty, \infty)$ 上で最小値を持つことを示す。

2. 解き方の手順

まず、多項式関数 $g(x)$ が実数全体で定義されていることに注意する。

$g(x)$ が最小値を持つためには、$x \to \pm \infty$ で $g(x) \to \infty$ となる必要がある。

$g(x)$ の主要項は $x^{2n}$ であり、$n$ は自然数であるから、$x^{2n}$ の係数は 1 であり正である。

したがって、$x \to \pm \infty$ で $g(x) \to \infty$ となる。

次に、$g(x)$ が連続関数であることを確認する。$g(x)$ は多項式であるから連続関数である。

$x \to \pm \infty$ で $g(x) \to \infty$ であり、連続関数であるから、最小値を持つ。

数学的に厳密に議論するためには、ある $x_0$ において $g(x_0) = M$ となる $M$ を考え、$|x| > R$ ならば $g(x) > M$ となる $R$ が存在することを示せばよい。

このとき、閉区間 $[-R, R]$ で連続関数 $g(x)$ は最小値を持つので、それは全体の最小値となる。

$g(x) = x^{2n} + 3x^{n+1} - 4x^n - 3x^{n-1} + 1$

$x \to \infty$ のとき、$x^{2n}$ が支配的であるから、$g(x) \to \infty$ となる。

同様に、$x \to -\infty$ のときも、$x^{2n}$ が支配的であり、$2n$ は偶数なので、$g(x) \to \infty$ となる。

したがって、ある十分大きな $|x|$ に対して $g(x)$ は任意の $M$ より大きくなる。

したがって、関数 $g(x)$ は実数全体で最小値を持つ。

3. 最終的な答え

関数 $g(x) = x^{2n} + 3x^{n+1} - 4x^n - 3x^{n-1} + 1$ は、$I = (-\infty, \infty)$ 上で最小値を持つ。