$\frac{2x^2 + 3x}{(x-1)(x^2+2x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+2x+2}$ 両辺に$(x-1)(x^2+2x+2)$を掛けると、 $2x^2 + 3x = A(x^2+2x+2) + (Bx+C)(x-1)$ $2x^2 + 3x = Ax^2 + 2Ax + 2A + Bx^2 - Bx + Cx - C$ $2x^2 + 3x = (A+B)x^2 + (2A - B + C)x + (2A - C)$ 係数を比較すると、以下の連立方程式が得られます。 $A+B = 2$ $2A - B + C = 3$ $2A - C = 0$ この連立方程式を解きます。 $C = 2A$を2番目の式に代入すると、 $2A - B + 2A = 3$ $4A - B = 3$ $A+B = 2$と足し合わせると、 $5A = 5$ $A = 1$ $B = 2 - A = 2 - 1 = 1$ $C = 2A = 2(1) = 2$ したがって、部分分数分解は次のようになります。 $\frac{2x^2 + 3x}{(x-1)(x^2+2x+2)} = \frac{1}{x-1} + \frac{x+2}{x^2+2x+2}$

## 問題(3)の内容

$\int \frac{2x^2 + 3x}{(x-1)(x^2+2x+2)} dx$ を計算します。

## 解き方の手順

1. **部分分数分解**：被積分関数を部分分数に分解します。

$\frac{2x^2 + 3x}{(x-1)(x^2+2x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+2x+2}$

両辺に$(x-1)(x^2+2x+2)$を掛けると、

$2x^2 + 3x = A(x^2+2x+2) + (Bx+C)(x-1)$

$2x^2 + 3x = Ax^2 + 2Ax + 2A + Bx^2 - Bx + Cx - C$

$2x^2 + 3x = (A+B)x^2 + (2A - B + C)x + (2A - C)$

係数を比較すると、以下の連立方程式が得られます。

$A+B = 2$

$2A - B + C = 3$

$2A - C = 0$

この連立方程式を解きます。

$C = 2A$を2番目の式に代入すると、

$2A - B + 2A = 3$

$4A - B = 3$

$A+B = 2$と足し合わせると、

$5A = 5$

$A = 1$

$B = 2 - A = 2 - 1 = 1$

$C = 2A = 2(1) = 2$

したがって、部分分数分解は次のようになります。

$\frac{2x^2 + 3x}{(x-1)(x^2+2x+2)} = \frac{1}{x-1} + \frac{x+2}{x^2+2x+2}$

2. **積分を実行**：部分分数に分解した各項を積分します。

$\int \frac{2x^2 + 3x}{(x-1)(x^2+2x+2)} dx = \int \frac{1}{x-1} dx + \int \frac{x+2}{x^2+2x+2} dx$

$\int \frac{1}{x-1} dx = \ln|x-1| + C_1$

$\int \frac{x+2}{x^2+2x+2} dx = \int \frac{x+1+1}{x^2+2x+2} dx = \int \frac{x+1}{x^2+2x+2} dx + \int \frac{1}{x^2+2x+2} dx$

ここで、$u = x^2+2x+2$とすると、$du = (2x+2)dx = 2(x+1)dx$なので、$\int \frac{x+1}{x^2+2x+2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \ln|u| + C_2 = \frac{1}{2} \ln(x^2+2x+2) + C_2$

$\int \frac{1}{x^2+2x+2} dx = \int \frac{1}{(x+1)^2+1} dx = \arctan(x+1) + C_3$

したがって、

$\int \frac{x+2}{x^2+2x+2} dx = \frac{1}{2} \ln(x^2+2x+2) + \arctan(x+1) + C_2 + C_3$

3. **結果をまとめる**：各項の積分結果を足し合わせます。

$\int \frac{2x^2 + 3x}{(x-1)(x^2+2x+2)} dx = \ln|x-1| + \frac{1}{2} \ln(x^2+2x+2) + \arctan(x+1) + C$

## 最終的な答え

$\ln|x-1| + \frac{1}{2} \ln(x^2+2x+2) + \arctan(x+1) + C$

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## 問題(4)の内容

$\int \frac{x^4 - 4x^3 + 6x^2 - x - 5}{x^3 - 4x^2 + 5x} dx$ を計算します。

## 解き方の手順

1. **多項式の割り算**: 分子の次数が分母の次数以上であるため、まず多項式の割り算を行います。

$x^4 - 4x^3 + 6x^2 - x - 5$を$x^3 - 4x^2 + 5x$で割ると、商は$x$、余りは$x^2-x-5$となります。

したがって、

$\frac{x^4 - 4x^3 + 6x^2 - x - 5}{x^3 - 4x^2 + 5x} = x + \frac{x^2 - x - 5}{x^3 - 4x^2 + 5x}$

2. **部分分数分解**: $\frac{x^2 - x - 5}{x^3 - 4x^2 + 5x}$を部分分数分解します。

まず、分母を因数分解します。

$x^3 - 4x^2 + 5x = x(x^2 - 4x + 5)$

$x^2 - 4x + 5$は実数の範囲で因数分解できません。

そこで、$\frac{x^2 - x - 5}{x(x^2 - 4x + 5)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 - 4x + 5}$とします。

両辺に$x(x^2 - 4x + 5)$をかけると、

$x^2 - x - 5 = A(x^2 - 4x + 5) + (Bx + C)x$

$x^2 - x - 5 = Ax^2 - 4Ax + 5A + Bx^2 + Cx$

$x^2 - x - 5 = (A + B)x^2 + (-4A + C)x + 5A$

係数を比較すると、

$A + B = 1$

$-4A + C = -1$

$5A = -5$

したがって、$A = -1$, $B = 1 - A = 1 - (-1) = 2$, $C = -1 + 4A = -1 + 4(-1) = -5$

$\frac{x^2 - x - 5}{x^3 - 4x^2 + 5x} = -\frac{1}{x} + \frac{2x - 5}{x^2 - 4x + 5}$

3. **積分を実行**:

$\int \frac{x^4 - 4x^3 + 6x^2 - x - 5}{x^3 - 4x^2 + 5x} dx = \int x dx + \int (-\frac{1}{x} + \frac{2x - 5}{x^2 - 4x + 5}) dx$

$\int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C_1$

$\int -\frac{1}{x} dx = -\ln|x| + C_2$

$\int \frac{2x - 5}{x^2 - 4x + 5} dx = \int \frac{2x-4-1}{x^2-4x+5}dx = \int \frac{2x-4}{x^2-4x+5}dx - \int \frac{1}{x^2-4x+5}dx$

$u = x^2 - 4x + 5$とすると、$du = (2x - 4)dx$なので、

$\int \frac{2x - 4}{x^2 - 4x + 5} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C_3 = \ln(x^2 - 4x + 5) + C_3$

$\int \frac{1}{x^2 - 4x + 5} dx = \int \frac{1}{(x-2)^2 + 1} dx = \arctan(x-2) + C_4$

したがって、

$\int \frac{2x - 5}{x^2 - 4x + 5} dx = \ln(x^2 - 4x + 5) - \arctan(x-2) + C_3 - C_4$

4. **結果をまとめる**:

$\int \frac{x^4 - 4x^3 + 6x^2 - x - 5}{x^3 - 4x^2 + 5x} dx = \frac{1}{2}x^2 - \ln|x| + \ln(x^2 - 4x + 5) - \arctan(x-2) + C$

## 最終的な答え

$\frac{1}{2}x^2 - \ln|x| + \ln(x^2 - 4x + 5) - \arctan(x-2) + C$