$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(\frac{1}{2}x)}$ を計算する問題です。

はい、承知しました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(\frac{1}{2}x)}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この極限を計算するために、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ という重要な極限の公式を利用します。

まず、与えられた式を以下のように変形します。

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(\frac{1}{2}x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\sin(\frac{1}{2}x)}{x}}$

次に、分母の$\frac{\sin(\frac{1}{2}x)}{x}$を$\frac{\sin(\frac{1}{2}x)}{\frac{1}{2}x}$の形に近づけるために、分母と分子に $\frac{1}{2}$ を掛けます。

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\sin(\frac{1}{2}x)}{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\sin(\frac{1}{2}x)}{\frac{1}{2}x} \cdot \frac{1}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{\frac{\sin(\frac{1}{2}x)}{\frac{1}{2}x}}$

ここで、$y = \frac{1}{2}x$ と置くと、$x \to 0$ のとき、$y \to 0$ となります。したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{2}{\frac{\sin(\frac{1}{2}x)}{\frac{1}{2}x}} = \lim_{y \to 0} \frac{2}{\frac{\sin y}{y}}$

$\lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1$ なので、

$\lim_{y \to 0} \frac{2}{\frac{\sin y}{y}} = \frac{2}{1} = 2$

3. 最終的な答え

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