与えられた5つの関数の導関数を求める問題です。 (1) $y = (x^2 + 5)^{12}$ (2) $y = \cos{\sqrt{x^2 + 1}}$ (3) $y = 5^{3x + 2}$ (4) $y = \log{\frac{x + 1}{x - 1}}$ (5) $y = \log{(\log{(\log{x})})}$

1. 問題の内容

与えられた5つの関数の導関数を求める問題です。

(1) $y = (x^2 + 5)^{12}$

(2) $y = \cos{\sqrt{x^2 + 1}}$

(3) $y = 5^{3x + 2}$

(4) $y = \log{\frac{x + 1}{x - 1}}$

(5) $y = \log{(\log{(\log{x})})}$

2. 解き方の手順

(1) 合成関数の微分公式を用います。$y = u^{12}$, $u = x^2 + 5$とすると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$です。

$\frac{dy}{du} = 12u^{11}$, $\frac{du}{dx} = 2x$なので、

$\frac{dy}{dx} = 12(x^2 + 5)^{11} \cdot 2x = 24x(x^2 + 5)^{11}$

(2) 合成関数の微分公式を繰り返し用います。$y = \cos{u}$, $u = \sqrt{v}$, $v = x^2 + 1$とすると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$です。

$\frac{dy}{du} = -\sin{u}$, $\frac{du}{dv} = \frac{1}{2\sqrt{v}}$, $\frac{dv}{dx} = 2x$なので、

$\frac{dy}{dx} = -\sin{\sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = -\frac{x \sin{\sqrt{x^2 + 1}}}{\sqrt{x^2 + 1}}$

(3) 指数関数の微分公式を用います。$y = a^u$のとき、$y' = a^u \log{a} \cdot u'$です。

$u = 3x + 2$なので、$u' = 3$です。

したがって、$y' = 5^{3x + 2} \cdot \log{5} \cdot 3 = 3 \log{5} \cdot 5^{3x + 2}$

(4) 対数の性質を用いて式を簡単化します。

$y = \log{\frac{x + 1}{x - 1}} = \log{(x + 1)} - \log{(x - 1)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1} = \frac{(x - 1) - (x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{-2}{x^2 - 1}$

(5) 合成関数の微分公式を繰り返し用います。$y = \log{u}$, $u = \log{v}$, $v = \log{x}$とすると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$です。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$, $\frac{du}{dv} = \frac{1}{v}$, $\frac{dv}{dx} = \frac{1}{x}$なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log{(\log{x})}} \cdot \frac{1}{\log{x}} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \log{x} \log{(\log{x})}}$

3. 最終的な答え

(1) $24x(x^2 + 5)^{11}$

(2) $-\frac{x \sin{\sqrt{x^2 + 1}}}{\sqrt{x^2 + 1}}$

(3) $3 \log{5} \cdot 5^{3x + 2}$

(4) $\frac{-2}{x^2 - 1}$

(5) $\frac{1}{x \log{x} \log{(\log{x})}}$