与えられた5つの関数の導関数を求める問題です。 (1) $y = (x^2 + 5)^{12}$ (2) $y = \cos{\sqrt{x^2 + 1}}$ (3) $y = 5^{3x + 2}$ (4) $y = \log{\frac{x + 1}{x - 1}}$ (5) $y = \log{(\log{(\log{x})})}$

1. 問題の内容

与えられた5つの関数の導関数を求める問題です。

(1) $y = (x^2 + 5)^{12}$

(2) $y = \cos{\sqrt{x^2 + 1}}$

(3) $y = 5^{3x + 2}$

(4) $y = \log{\frac{x + 1}{x - 1}}$

(5) $y = \log{(\log{(\log{x})})}$

2. 解き方の手順

(1) 合成関数の微分法を使います。$y = u^{12}$、 $u = x^2 + 5$ とおくと、$dy/dx = (dy/du)(du/dx)$ より、

$dy/du = 12u^{11}$, $du/dx = 2x$ となるので、

$dy/dx = 12(x^2 + 5)^{11} (2x) = 24x(x^2 + 5)^{11}$

(2) 合成関数の微分法を使います。$y = \cos{u}$, $u = \sqrt{v}$, $v = x^2 + 1$ とおくと、$dy/dx = (dy/du)(du/dv)(dv/dx)$ より、

$dy/du = -\sin{u}$, $du/dv = \frac{1}{2\sqrt{v}}$, $dv/dx = 2x$ となるので、

$dy/dx = -\sin{\sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = -\frac{x\sin{\sqrt{x^2 + 1}}}{\sqrt{x^2 + 1}}$

(3) $y = a^u$ の導関数は $y' = a^u \log{a} \cdot u'$ という公式を使います。$y = 5^{3x + 2}$なので、$u = 3x + 2$, $u' = 3$ より、

$dy/dx = 5^{3x + 2} \log{5} \cdot 3 = 3(\log{5})5^{3x + 2}$

(4) 対数の性質を利用して式を簡単にします。$\log{\frac{x + 1}{x - 1}} = \log{(x + 1)} - \log{(x - 1)}$

$\frac{d}{dx} \log{(x+1)} = \frac{1}{x+1}$, $\frac{d}{dx} \log{(x-1)} = \frac{1}{x-1}$

したがって、$\frac{d}{dx} \log{\frac{x+1}{x-1}} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1} = \frac{(x-1) - (x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{-2}{x^2 - 1}$

(5) 合成関数の微分法を使います。$y = \log{u}$, $u = \log{v}$, $v = \log{x}$ とおくと、$dy/dx = (dy/du)(du/dv)(dv/dx)$ より、

$dy/du = \frac{1}{u}$, $du/dv = \frac{1}{v}$, $dv/dx = \frac{1}{x}$ となるので、

$dy/dx = \frac{1}{\log{(\log{x})}} \cdot \frac{1}{\log{x}} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \log{x} \log{(\log{x})}}$

3. 最終的な答え

(1) $24x(x^2 + 5)^{11}$

(2) $-\frac{x\sin{\sqrt{x^2 + 1}}}{\sqrt{x^2 + 1}}$

(3) $3(\log{5})5^{3x + 2}$

(4) $\frac{-2}{x^2 - 1}$

(5) $\frac{1}{x \log{x} \log{(\log{x})}}$