$n$ は 2 以上の整数とする。次の定積分を求めよ。 (1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx$ (2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx$

1. 問題の内容

$n$ は 2 以上の整数とする。次の定積分を求めよ。

(1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx$

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx$

2. 解き方の手順

(1)

$I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx$ とする。部分積分を行う。

$I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1} x \sin x \, dx$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1} x (-\cos x)' \, dx$

$= \left[ \sin^{n-1} x (-\cos x) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (n-1) \sin^{n-2} x \cos x (-\cos x) \, dx$

$= 0 + (n-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} x \cos^2 x \, dx$

$= (n-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} x (1 - \sin^2 x) \, dx$

$= (n-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} x \, dx - (n-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx$

$= (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n$

よって、

$I_n = (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n$

$I_n + (n-1) I_n = (n-1) I_{n-2}$

$n I_n = (n-1) I_{n-2}$

$I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}$

$n$ が偶数のとき、$n = 2k$ とおくと、

$I_{2k} = \frac{2k-1}{2k} I_{2k-2} = \frac{2k-1}{2k} \frac{2k-3}{2k-2} I_{2k-4} = \dots = \frac{2k-1}{2k} \frac{2k-3}{2k-2} \dots \frac{1}{2} I_0$

$I_0 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^0 x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = [x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$

$I_{2k} = \frac{2k-1}{2k} \frac{2k-3}{2k-2} \dots \frac{1}{2} \frac{\pi}{2}$

$n$ が奇数のとき、$n = 2k+1$ とおくと、

$I_{2k+1} = \frac{2k}{2k+1} I_{2k-1} = \frac{2k}{2k+1} \frac{2k-2}{2k-1} I_{2k-3} = \dots = \frac{2k}{2k+1} \frac{2k-2}{2k-1} \dots \frac{2}{3} I_1$

$I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = [-\cos x]_0^{\frac{\pi}{2}} = 0 - (-1) = 1$

$I_{2k+1} = \frac{2k}{2k+1} \frac{2k-2}{2k-1} \dots \frac{2}{3} 1$

(2)

$J_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx$ とする。部分積分を行う。

$J_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{n-1} x \cos x \, dx$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{n-1} x (\sin x)' \, dx$

$= \left[ \cos^{n-1} x \sin x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (n-1) \cos^{n-2} x (-\sin x) \sin x \, dx$

$= 0 + (n-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{n-2} x \sin^2 x \, dx$

$= (n-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{n-2} x (1 - \cos^2 x) \, dx$

$= (n-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{n-2} x \, dx - (n-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx$

$= (n-1) J_{n-2} - (n-1) J_n$

よって、

$J_n = (n-1) J_{n-2} - (n-1) J_n$

$J_n + (n-1) J_n = (n-1) J_{n-2}$

$n J_n = (n-1) J_{n-2}$

$J_n = \frac{n-1}{n} J_{n-2}$

これは $I_n$ と同じ漸化式である。

$n$ が偶数のとき、$n = 2k$ とおくと、

$J_{2k} = \frac{2k-1}{2k} J_{2k-2} = \frac{2k-1}{2k} \frac{2k-3}{2k-2} J_{2k-4} = \dots = \frac{2k-1}{2k} \frac{2k-3}{2k-2} \dots \frac{1}{2} J_0$

$J_0 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^0 x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = [x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$

$J_{2k} = \frac{2k-1}{2k} \frac{2k-3}{2k-2} \dots \frac{1}{2} \frac{\pi}{2}$

$n$ が奇数のとき、$n = 2k+1$ とおくと、

$J_{2k+1} = \frac{2k}{2k+1} J_{2k-1} = \frac{2k}{2k+1} \frac{2k-2}{2k-1} J_{2k-3} = \dots = \frac{2k}{2k+1} \frac{2k-2}{2k-1} \dots \frac{2}{3} J_1$

$J_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = [\sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1 - 0 = 1$

$J_{2k+1} = \frac{2k}{2k+1} \frac{2k-2}{2k-1} \dots \frac{2}{3} 1$

3. 最終的な答え

(1)

$n$ が偶数のとき、$n=2k$ とすると、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2k} x \, dx = \frac{2k-1}{2k} \frac{2k-3}{2k-2} \dots \frac{1}{2} \frac{\pi}{2}$

$n$ が奇数のとき、$n=2k+1$ とすると、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2k+1} x \, dx = \frac{2k}{2k+1} \frac{2k-2}{2k-1} \dots \frac{2}{3}$

(2)

$n$ が偶数のとき、$n=2k$ とすると、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2k} x \, dx = \frac{2k-1}{2k} \frac{2k-3}{2k-2} \dots \frac{1}{2} \frac{\pi}{2}$

$n$ が奇数のとき、$n=2k+1$ とすると、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2k+1} x \, dx = \frac{2k}{2k+1} \frac{2k-2}{2k-1} \dots \frac{2}{3}$

(1)と(2)は同じ値になる。