次の極限値を求めます。 $\lim_{n \to \infty} n^2 \left( \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+2)^2} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)^2} \right)$

1. 問題の内容

次の極限値を求めます。

$\lim_{n \to \infty} n^2 \left( \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+2)^2} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)^2} \right)$

2. 解き方の手順

まず、与えられた和をシグマ記号を用いて表します。和は $n^2$ から $(2n-1)^2$ までの逆数の和なので、次のように書けます。

$\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{(n+k)^2}$

したがって、求める極限は次のようになります。

$\lim_{n \to \infty} n^2 \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{(n+k)^2}$

ここで、$n^2$ をシグマの中にいれると、

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n^2}{(n+k)^2} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{(1 + \frac{k}{n})^2}$

この式はリーマン和の形をしています。$x = \frac{k}{n}$ とおくと、積分に変換できます。$k$ が $0$ から $n-1$ まで変化するので、$x$ は $0$ から $1$ まで変化します。したがって、

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{(1 + \frac{k}{n})^2} \frac{1}{n} \cdot n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{(1 + \frac{k}{n})^2} \frac{1}{n} \cdot n$

$n \to \infty$ なので、$\frac{1}{n} \to 0$なので、

$\lim_{n \to \infty} n \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{(1 + \frac{k}{n})^2} \frac{1}{n} = \int_{0}^{1} \frac{1}{(1+x)^2} dx$

積分を計算します。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{(1+x)^2} dx = \left[ -\frac{1}{1+x} \right]_{0}^{1} = -\frac{1}{1+1} - \left(-\frac{1}{1+0}\right) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$