自然数の列を、第n群に2n個の自然数が入るように区切ったとき、第n群にあるすべての自然数の和を求める問題です。

1. 問題の内容

自然数の列を、第n群に2n個の自然数が入るように区切ったとき、第n群にあるすべての自然数の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、第n群の最初の数が何かを考えます。

第n群の最初の数は、第(n-1)群までの自然数の個数+1です。第k群の自然数の個数は $2k$ なので、第(n-1)群までの自然数の個数は、

$\sum_{k=1}^{n-1} 2k = 2 \sum_{k=1}^{n-1} k = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = n(n-1) = n^2 - n$

となります。したがって、第n群の最初の数は $n^2 - n + 1$ となります。

第n群には $2n$ 個の自然数が入るので、第n群の最後の数は、

$(n^2 - n + 1) + 2n - 1 = n^2 - n + 2n = n^2 + n$

となります。

第n群にあるすべての自然数の和は、等差数列の和の公式を使って計算できます。初項 $a = n^2 - n + 1$, 末項 $l = n^2 + n$, 項数 $m = 2n$ なので、和 $S$ は、

$S = \frac{m(a+l)}{2} = \frac{2n(n^2 - n + 1 + n^2 + n)}{2} = n(2n^2 + 1) = 2n^3 + n$

3. 最終的な答え

$2n^3 + n$