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二次関数 $y = x^2 + 4x + 2$ の $-3 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求めよ。

代数学二次関数最大値最小値平方完成定義域
2025/3/22

1. 問題の内容

二次関数 y=x2+4x+2y = x^2 + 4x + 2 の −3≤x≤1-3 \le x \le 1 における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、二次関数を平方完成します。
y=x2+4x+2=(x2+4x+4)−4+2=(x+2)2−2y = x^2 + 4x + 2 = (x^2 + 4x + 4) - 4 + 2 = (x + 2)^2 - 2
この二次関数の頂点は (−2,−2)(-2, -2) であり、下に凸な放物線です。
定義域 −3≤x≤1-3 \le x \le 1 における最大値と最小値を考えます。
軸 x=−2x = -2 は定義域に含まれています。
x=−2x = -2 における yy の値は y=−2y = -2 です。
x=−3x = -3 のとき y=(−3+2)2−2=(−1)2−2=1−2=−1y = (-3 + 2)^2 - 2 = (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1
x=1x = 1 のとき y=(1+2)2−2=(3)2−2=9−2=7y = (1 + 2)^2 - 2 = (3)^2 - 2 = 9 - 2 = 7
定義域内で x=−2x = -2 のとき最小値 y=−2y = -2 をとります。
x=1x = 1 のとき最大値 y=7y = 7 をとります。

3. 最終的な答え

最大値：7 (x = 1 のとき)
最小値：-2 (x = -2 のとき)

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