二次関数 $y = x^2 + 4x + 2$ の $-3 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

二次関数 $y = x^2 + 4x + 2$ の $-3 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、二次関数を平方完成します。

$y = x^2 + 4x + 2 = (x^2 + 4x + 4) - 4 + 2 = (x + 2)^2 - 2$

この二次関数の頂点は $(-2, -2)$ であり、下に凸な放物線です。

定義域 $-3 \le x \le 1$ における最大値と最小値を考えます。

軸 $x = -2$ は定義域に含まれています。

$x = -2$ における $y$ の値は $y = -2$ です。

$x = -3$ のとき $y = (-3 + 2)^2 - 2 = (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$

$x = 1$ のとき $y = (1 + 2)^2 - 2 = (3)^2 - 2 = 9 - 2 = 7$

定義域内で $x = -2$ のとき最小値 $y = -2$ をとります。

$x = 1$ のとき最大値 $y = 7$ をとります。

3. 最終的な答え

最大値：7 (x = 1 のとき)

最小値：-2 (x = -2 のとき)