与えられた図形を$x$軸の周りに回転させてできる立体の体積$V$を求める問題です。 (1) $y = \sqrt{x}$ と $y = x$ で囲まれた図形 (2) $y = (x-1)^2$ と $y = x-1$ で囲まれた図形 (3) $y = x^2$ と $x = y^2$ で囲まれた図形 (4) $x^2 + (y-2)^2 = 1$ で囲まれた図形

1. 問題の内容

与えられた図形を$x$軸の周りに回転させてできる立体の体積$V$を求める問題です。

(1) $y = \sqrt{x}$ と $y = x$ で囲まれた図形

(2) $y = (x-1)^2$ と $y = x-1$ で囲まれた図形

(3) $y = x^2$ と $x = y^2$ で囲まれた図形

(4) $x^2 + (y-2)^2 = 1$ で囲まれた図形

2. 解き方の手順

(1) $y = \sqrt{x}$ と $y = x$ の交点を求める。

$\sqrt{x} = x$ より、$x = x^2$。よって、$x^2 - x = 0$。これから、$x(x-1) = 0$ なので、$x = 0, 1$。

$V = \pi \int_0^1 (\sqrt{x})^2 dx - \pi \int_0^1 x^2 dx = \pi \int_0^1 x dx - \pi \int_0^1 x^2 dx$

$V = \pi [\frac{1}{2}x^2]_0^1 - \pi [\frac{1}{3}x^3]_0^1 = \pi (\frac{1}{2}) - \pi (\frac{1}{3}) = \frac{\pi}{6}$

(2) $y = (x-1)^2$ と $y = x-1$ の交点を求める。

$(x-1)^2 = x-1$ より、$(x-1)^2 - (x-1) = 0$。よって、$(x-1)(x-1-1) = (x-1)(x-2) = 0$。これから、$x = 1, 2$。

$V = \pi \int_1^2 (x-1)^2 dx - \pi \int_1^2 (x-1)^4 dx = \pi \int_1^2 (x-1)^2 dx$

$V = \pi \int_1^2 (x-1)^2 dx - \pi \int_1^2 ((x-1)^2)^2 dx$

$V = \pi \int_1^2 (x-1)^2 dx - \pi \int_1^2 (x-1)^4 dx$

$V = \pi [\frac{1}{3}(x-1)^3]_1^2 - \pi [\frac{1}{3}(x-1)^3]_1^2 = \pi(\frac{1}{3}) - 0 = \frac{\pi}{3}$

$V = \pi \int_1^2 ((x-1)^2)^2 dx$

$V = \pi [\frac{1}{3}(x-1)^3]_1^2 = \pi (\frac{1}{3}(1^3)-0) = \frac{\pi}{3}$

$V = \pi \int_1^2 (x-1)^2 - (x-1)^4 dx = \pi [\frac{1}{3} (x-1)^3 - \frac{1}{5} (x-1)^5]_1^2 = \pi (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = \pi (\frac{5-3}{15}) = \frac{2\pi}{15}$

(3) $y = x^2$ と $x = y^2$ より、$y = x^2$ と $y = \sqrt{x}$ で囲まれた図形。交点は、$x^2 = \sqrt{x}$ より、$x^4 = x$。よって、$x(x^3 - 1) = 0$。これから、$x = 0, 1$。

$V = \pi \int_0^1 (\sqrt{x})^2 dx - \pi \int_0^1 (x^2)^2 dx = \pi \int_0^1 x dx - \pi \int_0^1 x^4 dx$

$V = \pi [\frac{1}{2}x^2]_0^1 - \pi [\frac{1}{5}x^5]_0^1 = \pi (\frac{1}{2}) - \pi (\frac{1}{5}) = \pi (\frac{5-2}{10}) = \frac{3\pi}{10}$

(4) $x^2 + (y-2)^2 = 1$ は、中心 $(0,2)$、半径 $1$ の円である。これを$x$軸周りに回転させると、トーラスになる。

円の方程式より、$y = 2 \pm \sqrt{1-x^2}$

$V = \pi \int_{-1}^1 (2 + \sqrt{1-x^2})^2 dx - \pi \int_{-1}^1 (2 - \sqrt{1-x^2})^2 dx$

$V = \pi \int_{-1}^1 (4 + 4\sqrt{1-x^2} + 1-x^2) - (4 - 4\sqrt{1-x^2} + 1-x^2) dx$

$V = \pi \int_{-1}^1 8\sqrt{1-x^2} dx = 8\pi \int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2} dx$

$\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2} dx$ は半径1の半円の面積なので $\frac{\pi}{2}$

$V = 8\pi (\frac{\pi}{2}) = 4\pi^2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{6}$

(2) $\frac{2\pi}{15}$

(3) $\frac{3\pi}{10}$

(4) $4\pi^2$