関数 $y = (x - a)^2 - 2$ の $-2 \le x \le 1$ における最小値を、$a$ の値によって場合分けして求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = (x - a)^2 - 2$ の $-2 \le x \le 1$ における最小値を、$a$ の値によって場合分けして求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた関数 $y = (x - a)^2 - 2$ は、下に凸な二次関数です。軸は $x = a$ です。定義域 $-2 \le x \le 1$ における最小値を求めるためには、軸 $x = a$ が定義域に対してどのような位置関係にあるかを考慮する必要があります。

(1) $a < -2$ のとき

軸 $x = a$ が定義域よりも左にある場合、関数は定義域内で単調減少します。したがって、$x = 1$ で最小値をとります。このときの最小値は、 $y = (1 - a)^2 - 2$ です。

(2) $-2 \le a \le 1$ のとき

軸 $x = a$ が定義域内にある場合、頂点で最小値をとります。頂点の $x$ 座標は $x = a$ なので、$x = a$ で最小値をとります。このときの最小値は、$y = (a - a)^2 - 2 = -2$ です。

(3) $1 < a$ のとき

軸 $x = a$ が定義域よりも右にある場合、関数は定義域内で単調増加します。したがって、$x = -2$ で最小値をとります。このときの最小値は、$y = (-2 - a)^2 - 2$ です。

3. 最終的な答え

(1) $a < -2$ のとき、 $x = 1$ で最小値 $(1 - a)^2 - 2$

(2) $-2 \le a \le 1$ のとき、 $x = a$ で最小値 $-2$

(3) $1 < a$ のとき、 $x = -2$ で最小値 $(-2 - a)^2 - 2$