6x6のマスに1から36までの数字が順番に並んでいる。この表の中から2x2の正方形を取り出し、右上 x 左下 - 左上 x 右上の計算を行うと、常に一定の値になるという。 (1) その一定の値を求めよ。 (2) どの部分を切り取っても(1)の値になることを文字式を使って証明せよ。

1. 問題の内容

6x6のマスに1から36までの数字が順番に並んでいる。この表の中から2x2の正方形を取り出し、右上 x 左下 - 左上 x 右上の計算を行うと、常に一定の値になるという。

(1) その一定の値を求めよ。

(2) どの部分を切り取っても(1)の値になることを文字式を使って証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) 図に示された2x2の正方形の数字を使って、計算を行う。

右上 x 左下 - 左上 x 右下の計算を行うと、14 x 9 - 8 x 15 = 126 - 120 = 6となる。

(2) 2x2の正方形の左上の数をnとする。

このとき、

左上: n

右上: n + 6

左下: n + 1

右下: n + 7

となる。

右上 x 左下 - 左上 x 右下 = $(n+6)(n+1) - n(n+7)$

$= n^2 + n + 6n + 6 - n^2 - 7n$

$= n^2 + 7n + 6 - n^2 - 7n$

$= 6$

となり、nによらず常に6になる。

3. 最終的な答え

(1) 6

(2) (証明)

2x2の正方形の左上の数をnとすると、

左上: n

右上: n + 6

左下: n + 1

右下: n + 7

右上 x 左下 - 左上 x 右下 = $(n+6)(n+1) - n(n+7) = 6$

したがって、表のどの部分を切り取っても、計算結果は6になる。