与えられた2次関数について、グラフを描き、軸と頂点を求める問題です。 (1) $y = 2(x+2)^2 + 1$ (2) $y = -\frac{1}{2}(x-2)^2 - 1$

1. 問題の内容

与えられた2次関数について、グラフを描き、軸と頂点を求める問題です。

(1) $y = 2(x+2)^2 + 1$

(2) $y = -\frac{1}{2}(x-2)^2 - 1$

2. 解き方の手順

2次関数の標準形 $y = a(x-p)^2 + q$ について、以下の手順でグラフを描き、軸と頂点を求めます。

(1) $y = 2(x+2)^2 + 1$

- 標準形と比較すると、$a = 2$, $p = -2$, $q = 1$ であることがわかります。

- 頂点は $(p, q) = (-2, 1)$ です。

- 軸は $x = p$ より、$x = -2$ です。

- $y$軸との交点を求めるには、$x = 0$ を代入します。$y = 2(0+2)^2 + 1 = 2(4) + 1 = 8 + 1 = 9$。よって、$y$軸との交点は $(0, 9)$ です。

- $a=2>0$なので、グラフは下に凸の放物線です。

(2) $y = -\frac{1}{2}(x-2)^2 - 1$

- 標準形と比較すると、$a = -\frac{1}{2}$, $p = 2$, $q = -1$ であることがわかります。

- 頂点は $(p, q) = (2, -1)$ です。

- 軸は $x = p$ より、$x = 2$ です。

- $y$軸との交点を求めるには、$x = 0$ を代入します。$y = -\frac{1}{2}(0-2)^2 - 1 = -\frac{1}{2}(4) - 1 = -2 - 1 = -3$。よって、$y$軸との交点は $(0, -3)$ です。

- $a = -\frac{1}{2}<0$なので、グラフは上に凸の放物線です。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2(x+2)^2 + 1$

- 頂点: $(-2, 1)$

- 軸: $x = -2$

(2) $y = -\frac{1}{2}(x-2)^2 - 1$

- 頂点: $(2, -1)$

- 軸: $x = 2$