関数 $y = -x^2 + 2ax$ ($0 \le x \le 3$) について、以下の問いに答える。ただし、$a$ は定数で、$0 < a < 1$ とする。 (1) 関数が最小値をとる $x$ の値を求めよ。 (2) 関数の最小値が $-5$ であるように、$a$ の値を定めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 2ax$ ($0 \le x \le 3$) について、以下の問いに答える。ただし、$a$ は定数で、$0 < a < 1$ とする。

(1) 関数が最小値をとる $x$ の値を求めよ。

(2) 関数の最小値が $-5$ であるように、$a$ の値を定めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた関数を平方完成する。

$y = -x^2 + 2ax = -(x^2 - 2ax) = -(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) = -(x-a)^2 + a^2$

よって、この関数のグラフは、頂点が $(a, a^2)$ で上に凸な放物線である。

定義域は $0 \le x \le 3$ であり、$0 < a < 1$ であるから、軸 $x=a$ は定義域に含まれる。

最小値を考える。上に凸な放物線なので、最小値は定義域の端のいずれかでとる。

$x = 0$ のとき $y = 0$

$x = 3$ のとき $y = -3^2 + 2a \cdot 3 = -9 + 6a$

ここで、$0 < a < 1$ であるから、 $-9 < 6a - 9 < -3$

つまり、$-9 < -9 + 6a < -3$ が成立する。

したがって、$x=3$ のとき、$y = -9 + 6a < 0$ となり、 $y = -9+6a$ が最小値になる。

最小値をとる $x$ の値は $x=3$ である。

(2)

関数の最小値が $-5$ であるから、

$-9 + 6a = -5$

$6a = 4$

$a = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$0 < \frac{2}{3} < 1$ を満たすので、$a = \frac{2}{3}$ は条件に適する。

3. 最終的な答え

(1) $x = 3$

(2) $a = \frac{2}{3}$