関数 $y = 2x^2 - 12x + c$ の $1 \le x \le 4$ における最大値が5となるように定数 $c$ の値を定め、そのときの最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 - 12x + c$ の $1 \le x \le 4$ における最大値が5となるように定数 $c$ の値を定め、そのときの最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2(x^2 - 6x) + c$

$y = 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + c$

$y = 2(x - 3)^2 - 18 + c$

この関数の軸は $x = 3$ です。定義域は $1 \le x \le 4$ なので、軸は定義域に含まれます。

したがって、頂点 $x = 3$ で最小値をとります。

$x = 1$ または $x = 4$ で最大値をとります。

$x = 1$ のとき、$y = 2(1-3)^2 - 18 + c = 2(4) - 18 + c = 8 - 18 + c = c - 10$

$x = 4$ のとき、$y = 2(4-3)^2 - 18 + c = 2(1) - 18 + c = 2 - 18 + c = c - 16$

$x=1$ の方が $x=4$ よりも軸から離れているので、$x=1$で最大値をとる。

最大値が5なので、$c - 10 = 5$

$c = 15$

次に、最小値を求めます。最小値は $x = 3$ のときにとります。

$y = 2(3-3)^2 - 18 + c = -18 + c = -18 + 15 = -3$

3. 最終的な答え

$c = 15$

最小値は $-3$