6. (3) $x^2 + 8x + a$ が正の整数 $b, c$ を用いて $(x+b)(x+c)$ と因数分解できるような定数 $a$ の値を全て求める。ただし、$b=c$ となる場合も含む。 7. (1) 0 から $\sqrt{500}$ までの間に素数は何個あるか。 7. (2) 直径40cmの丸太から、切り口ができるだけ大きな正方形の角材をとるとき、切り口の正方形の1辺の長さを求める。$\sqrt{5} = 2.236$ とするとき、$\sqrt{0.2}$ の値を求める。 8. (1) $\sqrt{47}$ の小数部分を求める。 9. (2) $\sqrt{47}$ の小数部分を $t$ とするとき、$t^2+12t$ の値を求める。

1. 問題の内容

6. (3) $x^2 + 8x + a$ が正の整数 $b, c$ を用いて $(x+b)(x+c)$ と因数分解できるような定数 $a$ の値を全て求める。ただし、$b=c$ となる場合も含む。

7. (1) 0 から $\sqrt{500}$ までの間に素数は何個あるか。

7. (2) 直径40cmの丸太から、切り口ができるだけ大きな正方形の角材をとるとき、切り口の正方形の1辺の長さを求める。$\sqrt{5} = 2.236$ とするとき、$\sqrt{0.2}$ の値を求める。

8. (1) $\sqrt{47}$ の小数部分を求める。

9. (2) $\sqrt{47}$ の小数部分を $t$ とするとき、$t^2+12t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

6.(3)

$x^2 + 8x + a = (x+b)(x+c) = x^2 + (b+c)x + bc$

$b+c = 8, bc = a$ となる正の整数 $b, c$ を探す。

$b=1$ のとき $c=7$, $a=bc=7$

$b=2$ のとき $c=6$, $a=bc=12$

$b=3$ のとき $c=5$, $a=bc=15$

$b=4$ のとき $c=4$, $a=bc=16$

したがって、$a$ の値は $7, 12, 15, 16$

7.(1)

$\sqrt{500} = \sqrt{5} \times \sqrt{100} \approx 2.236 \times 10 = 22.36$

0 から $\sqrt{500}$ までの素数は 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 である。

したがって、素数は 8 個。

7.(2)

正方形の対角線が丸太の直径になる。正方形の一辺の長さを $x$ とすると、

$x^2 + x^2 = 40^2$

$2x^2 = 1600$

$x^2 = 800$

$x = \sqrt{800} = \sqrt{400 \times 2} = 20\sqrt{2}$

$\sqrt{2} = \sqrt{\frac{4}{20}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \approx \frac{2}{2.236} = \frac{2000}{2236} \approx 0.8944$

よって、$x = 20\sqrt{2} \approx 20 \times 0.8944 = 17.888 \approx 17.89$ となる。

もしくは、$x = 20\sqrt{2} = 20 \times \sqrt{2} \approx 20(1.414) = 28.28$

正方形の対角線が40cmなので、$2x^2 = 40^2$

$x^2 = 800$

$x = \sqrt{800} = 20\sqrt{2}$

$\sqrt{5}=2.236$とすると、

$\sqrt{0.2} = \sqrt{\frac{2}{10}} = \frac{\sqrt{20}}{10} = \frac{2\sqrt{5}}{10} = \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2.236}{5} = 0.4472$

8.(1)

$\sqrt{47}$ の整数部分は 6 である。なぜなら $6^2=36 < 47 < 49 = 7^2$ だから。

したがって小数部分は $\sqrt{47} - 6$

8.(2)

$t = \sqrt{47} - 6$ なので、

$t^2 + 12t = (\sqrt{47} - 6)^2 + 12(\sqrt{47} - 6) = (47 - 12\sqrt{47} + 36) + (12\sqrt{47} - 72) = 47 + 36 - 72 = 83 - 72 = 11$

3. 最終的な答え

6.(3) $a=7, 12, 15, 16$

7.(1) 8個

7.(2) $20\sqrt{2}$ cm, $\sqrt{0.2} = 0.4472$

8.(1) $\sqrt{47}-6$

8.(2) 11