関数 $y = 2x^2 - 12x + c$ ($1 \le x \le 4$) の最大値が5であるように、定数 $c$ の値を定め、そのときの最小値を求める。

## 問題1

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 - 12x + c$ ($1 \le x \le 4$) の最大値が5であるように、定数 $c$ の値を定め、そのときの最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = 2x^2 - 12x + c = 2(x^2 - 6x) + c$

$y = 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + c = 2((x - 3)^2 - 9) + c$

$y = 2(x - 3)^2 - 18 + c$

これは、軸が $x = 3$ である下に凸の放物線である。

定義域は $1 \le x \le 4$ である。

軸 $x=3$ は定義域に含まれている。

下に凸の放物線なので、$x=1$または$x=4$で最大値をとる。

$x=1$のとき、$y = 2(1-3)^2 - 18 + c = 2(4) - 18 + c = 8 - 18 + c = c - 10$

$x=4$のとき、$y = 2(4-3)^2 - 18 + c = 2(1) - 18 + c = 2 - 18 + c = c - 16$

$x=1$のときの方が、$x=4$のときよりも大きいので、最大値は$x=1$のとき、$y=c-10$である。

最大値が5であることから、$c - 10 = 5$

$c = 15$

次に、最小値を求める。軸 $x = 3$ は定義域に含まれているので、$x = 3$ で最小値をとる。

$x = 3$ のとき、$y = 2(3 - 3)^2 - 18 + 15 = 0 - 18 + 15 = -3$

よって、最小値は -3 である。

3. 最終的な答え

$c = 15$

最小値は -3

## 問題2

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 2ax$ ($0 \le x \le 3$) について、以下の問いに答える。ただし、$a$ は定数で、$0 < a < 1$ とする。

(1) 関数が最小値をとる $x$ の値を求める。

(2) 関数の最小値が -5 であるように、$a$ の値を定める。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた2次関数を平方完成する。

$y = -x^2 + 2ax = -(x^2 - 2ax)$

$y = -(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) = -((x - a)^2 - a^2)$

$y = -(x - a)^2 + a^2$

これは、軸が $x = a$ である上に凸の放物線である。

定義域は $0 \le x \le 3$ である。

$0 < a < 1$ なので、$x = a$ は定義域に含まれている。

上に凸の放物線なので、最小値は定義域の端点 $x = 0$ または $x = 3$ でとる。

$x = 0$ のとき、$y = -0^2 + 2a(0) = 0$

$x = 3$ のとき、$y = -3^2 + 2a(3) = -9 + 6a$

$0 < a < 1$ より $0 < 6a < 6$。したがって、$-9 < -9 + 6a < -3$

したがって、$-9 + 6a < 0$ となり、$x = 3$ のときが最小値となる。

最小値をとる $x$ の値は 3 である。

(2) 最小値が -5 であるとき、$-9 + 6a = -5$

$6a = 4$

$a = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$0 < a < 1$ を満たしているので、これは適切な値である。

3. 最終的な答え

(1) $x = 3$

(2) $a = \frac{2}{3}$