複数の数学の問題が出題されています。 1. 一次関数の定義域が与えられた時の値域、最大値、最小値を求める問題。

1. 問題の内容

複数の数学の問題が出題されています。

1. 一次関数の定義域が与えられた時の値域、最大値、最小値を求める問題。

2. 二次関数の平行移動に関する問題。

3. 二次関数のグラフを描き、軸と頂点を求める問題。

4. 放物線を平行移動、軸対称移動、原点対称移動させたときの放物線の方程式を求める問題。

2. 解き方の手順

以下、問題ごとに解き方を説明します。

問題1 (1)

一次関数 $y = -2x + 3$ の定義域が $-1 \leq x \leq 2$ で与えられています。

$x = -1$ のとき $y = -2(-1) + 3 = 5$

$x = 2$ のとき $y = -2(2) + 3 = -1$

一次関数は単調減少なので、

最大値は5 ($x = -1$のとき), 最小値は-1 ($x = 2$のとき)

値域は $-1 \leq y \leq 5$

問題1 (2)

一次関数 $y = \frac{2}{3}x - 1$ の定義域が $0 < x \leq 2$ で与えられています。

$x = 0$ のとき $y = \frac{2}{3}(0) - 1 = -1$

$x = 2$ のとき $y = \frac{2}{3}(2) - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$

一次関数は単調増加なので、

最大値は $\frac{1}{3}$ ($x = 2$のとき), 最小値は存在しない ($x > 0$ なので $x = 0$を含まない)

値域は $-1 < y \leq \frac{1}{3}$

問題2

$y = -3(x+2)^2 - 4$ のグラフは、 $y = -3x^2$ のグラフを $x$軸方向に$-2$, $y$軸方向に$-4$ だけ平行移動したものです。

軸は直線 $x = -2$

頂点は点 $(-2, -4)$ である。

問題3 (1)

$y = x^2 - 4x$

$y = (x - 2)^2 - 4$

軸は $x = 2$

頂点は $(2, -4)$

グラフは省略

問題3 (2)

$y = -\frac{1}{2}x^2 + x + \frac{3}{2}$

$y = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x) + \frac{3}{2}$

$y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{1}{2} + \frac{3}{2}$

$y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + 2$

軸は $x = 1$

頂点は $(1, 2)$

グラフは省略

問題4 (1)

$y = -2x^2 + 3x - 5$ を $x$軸方向に$1$, $y$軸方向に$-2$だけ平行移動すると、

$y + 2 = -2(x - 1)^2 + 3(x - 1) - 5$

$y = -2(x^2 - 2x + 1) + 3x - 3 - 5 - 2$

$y = -2x^2 + 4x - 2 + 3x - 10$

$y = -2x^2 + 7x - 12$

問題4 (2)

$y = -2x^2 + 3x - 5$ を $x$軸に関して対称移動すると、

$-y = -2x^2 + 3x - 5$

$y = 2x^2 - 3x + 5$

問題4 (3)

$y = -2x^2 + 3x - 5$ を $y$軸に関して対称移動すると、

$y = -2(-x)^2 + 3(-x) - 5$

$y = -2x^2 - 3x - 5$

問題4 (4)

$y = -2x^2 + 3x - 5$ を原点に関して対称移動すると、

$-y = -2(-x)^2 + 3(-x) - 5$

$-y = -2x^2 - 3x - 5$

$y = 2x^2 + 3x + 5$

3. 最終的な答え

問題1 (1)

値域: $-1 \leq y \leq 5$

最大値: 5

最小値: -1

問題1 (2)

値域: $-1 < y \leq \frac{1}{3}$

最大値: $\frac{1}{3}$

最小値: なし

問題2

$y = -3x^2$のグラフを、$x$軸方向に$-2$, $y$軸方向に$-4$だけ平行移動。軸は直線$x=-2$, 頂点は点$(-2,-4)$

問題3 (1)

軸: $x = 2$

頂点: $(2, -4)$

問題3 (2)

軸: $x = 1$

頂点: $(1, 2)$

問題4 (1)

$y = -2x^2 + 7x - 12$

問題4 (2)

$y = 2x^2 - 3x + 5$

問題4 (3)

$y = -2x^2 - 3x - 5$

問題4 (4)

$y = 2x^2 + 3x + 5$