$\int \sin^4 x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int \sin^4 x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$ を用いて $\sin^4 x$ を変形します。

$\sin^4 x = (\sin^2 x)^2 = \left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right)^2 = \frac{1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4}$

さらに、$\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}$ を用いて変形します。

$\sin^4 x = \frac{1 - 2\cos(2x) + \frac{1 + \cos(4x)}{2}}{4} = \frac{2 - 4\cos(2x) + 1 + \cos(4x)}{8} = \frac{3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8}$

したがって、積分は

$\int \sin^4 x \, dx = \int \frac{3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8} \, dx = \frac{1}{8} \int (3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) \, dx$

$= \frac{1}{8} \left(3x - 4\cdot\frac{\sin(2x)}{2} + \frac{\sin(4x)}{4}\right) + C = \frac{1}{8} \left(3x - 2\sin(2x) + \frac{\sin(4x)}{4}\right) + C$

$= \frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x) + C$