(1) 1から100までの整数のうち、3と互いに素なものの個数、10と互いに素なものの個数、30と互いに素なものの個数を求めます。 (2) 和が2で積が$2-a$となる2つの異なる整数が存在するような自然数$a$を小さい順に$a_1, a_2, a_3, \dots$とするとき、$a_1, a_2, a_3$の値を求め、数列$\{a_n\}$の初項から第$k$項までの和が294であるとき、$k$の値を求めます。 (3) $0 < \theta < 2\pi$を満たす$\theta$に対して、$x = 2\theta^2 - \sin^2 \theta$, $y = \sin^2 \theta$とおく。$\frac{dy}{dx} > 0$となるとき、$x$のとりうる値の範囲を小さい順に求めます。

1. 問題の内容

(1) 1から100までの整数のうち、3と互いに素なものの個数、10と互いに素なものの個数、30と互いに素なものの個数を求めます。

(2) 和が2で積が$2-a$となる2つの異なる整数が存在するような自然数$a$を小さい順に$a_1, a_2, a_3, \dots$とするとき、$a_1, a_2, a_3$の値を求め、数列$\{a_n\}$の初項から第$k$項までの和が294であるとき、$k$の値を求めます。

(3) $0 < \theta < 2\pi$を満たす$\theta$に対して、$x = 2\theta^2 - \sin^2 \theta$, $y = \sin^2 \theta$とおく。$\frac{dy}{dx} > 0$となるとき、$x$のとりうる値の範囲を小さい順に求めます。

2. 解き方の手順

(1)

* 3と互いに素な数の個数：1から100までの整数のうち、3の倍数は33個あるので、$100 - 33 = 67$個。

* 10と互いに素な数の個数：10の倍数は10個、2の倍数は50個、5の倍数は20個。10と互いに素なものの個数は、$100 \times (1-\frac{1}{2}) \times (1-\frac{1}{5}) = 100 \times \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} = 40$個。

* 30と互いに素な数の個数：$100 \times (1-\frac{1}{2}) \times (1-\frac{1}{3}) \times (1-\frac{1}{5}) = 100 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{80}{3} = 26.66\dots$なので、26個。

(2)

* 和が2で積が$2-a$となる2つの異なる整数を$\alpha, \beta$とすると、$\alpha + \beta = 2$, $\alpha \beta = 2 - a$である。$\alpha, \beta$は$t^2 - 2t + (2-a) = 0$の解なので、解と係数の関係より$\alpha + \beta = 2$, $\alpha \beta = 2 - a$。判別式$D = 4 - 4(2-a) > 0$より、$4 - 8 + 4a > 0$, $4a > 4$, $a > 1$。$\alpha, \beta$が整数であることから、$t = \frac{2 \pm \sqrt{4a - 4}}{2} = 1 \pm \sqrt{a-1}$なので、$a-1$は平方数。$a > 1$より、$a = 2, 5, 10, 17, 26, \dots$。

$a_1 = 2, a_2 = 5, a_3 = 10$。

* $a_n = n^2 + 1$。$\sum_{i=1}^k a_i = \sum_{i=1}^k (i^2 + 1) = \sum_{i=1}^k i^2 + \sum_{i=1}^k 1 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + k = 294$。$\frac{k(k+1)(2k+1) + 6k}{6} = 294$, $k(k+1)(2k+1) + 6k = 1764$, $k(2k^2 + 3k + 1 + 6) = 1764$, $k(2k^2 + 3k + 7) = 1764$。$k = 9$を代入すると、$9(2 \cdot 81 + 3 \cdot 9 + 7) = 9(162 + 27 + 7) = 9(196) = 1764$となるので、$k = 9$。

(3)

* $x = 2\theta^2 - \sin^2 \theta$, $y = \sin^2 \theta$。$\frac{dx}{d\theta} = 4\theta - 2\sin \theta \cos \theta = 4\theta - \sin 2\theta$, $\frac{dy}{d\theta} = 2\sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$。$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin 2\theta}{4\theta - \sin 2\theta} > 0$。

$\sin 2\theta > 0$かつ$4\theta - \sin 2\theta > 0$または$\sin 2\theta < 0$かつ$4\theta - \sin 2\theta < 0$。

$4\theta - \sin 2\theta > 0$は常に成立。$\sin 2\theta > 0$より、$0 < 2\theta < \pi$または$2\pi < 2\theta < 3\pi$。$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$または$\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$。

$x = 2\theta^2 - \sin^2 \theta$より、

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$のとき、$0 < x < 2 (\frac{\pi}{2})^2 = \frac{\pi^2}{2}$。$\theta = 0$のとき、$x=0$、$\theta = \frac{\pi}{2}$のとき、$x = \frac{\pi^2}{2} - 1$。

$\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$のとき、$2\pi^2 < x < 2 (\frac{3\pi}{2})^2 = \frac{9\pi^2}{2}$。$\theta = \pi$のとき、$x = 2\pi^2$、$\theta = \frac{3\pi}{2}$のとき、$x = \frac{9\pi^2}{2} - 1$。

したがって、$0 < x < \frac{\pi^2}{2} - 1$, $2\pi^2 < x < \frac{9\pi^2}{2} - 1$。

3. 最終的な答え

(1) 67, 40, 26

(2) 2, 5, 10, 9

(3) $0 < x < \frac{\pi^2}{2} - 1$, $2\pi^2 < x < \frac{9\pi^2}{2} - 1$