問題は以下の2つの極限を求めることです。 * $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\log_2 x}$ * $\lim_{x \to +0} x \log_2 x$ ただし、$x > 1$ で $0 < \log_2 x < x$ であることを利用します。

1. 問題の内容

問題は以下の2つの極限を求めることです。

* $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\log_2 x}$

* $\lim_{x \to +0} x \log_2 x$

ただし、$x > 1$ で $0 < \log_2 x < x$ であることを利用します。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\log_2 x}$ について

$y = \log_2 x$ と置くと、$x = 2^y$ となり、$x \to \infty$ のとき $y \to \infty$ となります。したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\log_2 x} = \lim_{y \to \infty} \frac{2^y}{y}$

ここで、ロピタルの定理を用いると、

$\lim_{y \to \infty} \frac{2^y}{y} = \lim_{y \to \infty} \frac{2^y \log 2}{1} = \infty$

よって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\log_2 x} = \infty$

(2) $\lim_{x \to +0} x \log_2 x$ について

$x = 2^{-y}$ と置くと、$x \to +0$ のとき $y \to \infty$ となります。したがって、

$\lim_{x \to +0} x \log_2 x = \lim_{y \to \infty} 2^{-y} \log_2 (2^{-y}) = \lim_{y \to \infty} 2^{-y} (-y) = - \lim_{y \to \infty} \frac{y}{2^y}$

ここで、ロピタルの定理を用いると、

$- \lim_{y \to \infty} \frac{y}{2^y} = - \lim_{y \to \infty} \frac{1}{2^y \log 2} = 0$

よって、

$\lim_{x \to +0} x \log_2 x = 0$

3. 最終的な答え

* $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\log_2 x} = \infty$

* $\lim_{x \to +0} x \log_2 x = 0$