与えられた式 $(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)$ を展開する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)$ を展開する問題です。

2. 解き方の手順

まず、式を並び替えて、計算しやすい組み合わせを作ります。

$[(a+c)+b][(a+c)-b][(a-c)+b][(a-c)-b]$

ここで、$(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ の公式を利用します。

$[(a+c)^2 - b^2][(a-c)^2 - b^2]$

$(a+c)^2 = a^2 + 2ac + c^2$ および $(a-c)^2 = a^2 - 2ac + c^2$ を展開します。

$[a^2 + 2ac + c^2 - b^2][a^2 - 2ac + c^2 - b^2]$

ここで、 $a^2 + c^2 - b^2 = X$ と置換すると、

$[X + 2ac][X - 2ac]$

再び $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ の公式を利用します。

$X^2 - (2ac)^2$

$X^2 - 4a^2c^2$

$X$ を元に戻します。

$(a^2 + c^2 - b^2)^2 - 4a^2c^2$

$(a^2 + c^2 - b^2)(a^2 + c^2 - b^2) - 4a^2c^2$

$(a^4 + a^2c^2 - a^2b^2 + a^2c^2 + c^4 - b^2c^2 - a^2b^2 - b^2c^2 + b^4) - 4a^2c^2$

$a^4 + c^4 + b^4 + 2a^2c^2 - 2a^2b^2 - 2b^2c^2 - 4a^2c^2$

$a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2c^2 - 2a^2b^2 - 2b^2c^2$

$a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2b^2c^2 - 2c^2a^2$

3. 最終的な答え

$a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2b^2c^2 - 2c^2a^2$