$\int \cos^2 x dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\int \cos^2 x dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^2 x$ を半角の公式を用いて変形します。

半角の公式は $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ です。

したがって、

$\int \cos^2 x dx = \int \frac{1 + \cos 2x}{2} dx$

となります。

積分を分解すると、

$\int \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 + \cos 2x) dx = \frac{1}{2} \int 1 dx + \frac{1}{2} \int \cos 2x dx$

となります。

$\int 1 dx = x + C_1$

$\int \cos 2x dx = \frac{1}{2} \sin 2x + C_2$

したがって、

$\frac{1}{2} \int 1 dx + \frac{1}{2} \int \cos 2x dx = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin 2x + C = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} \sin 2x + C$

3. 最終的な答え

$\int \cos^2 x dx = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} \sin 2x + C$