定積分 $\int_{-1}^{2} |x| dx$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{2} |x| dx$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

絶対値記号 $|x|$ を外すために、積分区間を分割する必要がある。

$x < 0$ のとき $|x| = -x$ であり、$x \geq 0$ のとき $|x| = x$ である。

したがって、積分区間を $-1 \leq x \leq 0$ と $0 \leq x \leq 2$ に分割する。

$\int_{-1}^{2} |x| dx = \int_{-1}^{0} |x| dx + \int_{0}^{2} |x| dx$

$= \int_{-1}^{0} (-x) dx + \int_{0}^{2} x dx$

$= \left[-\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0} + \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{2}$

$= \left(-\frac{0^2}{2}\right) - \left(-\frac{(-1)^2}{2}\right) + \left(\frac{2^2}{2}\right) - \left(\frac{0^2}{2}\right)$

$= 0 - \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{4}{2} - 0$

$= \frac{1}{2} + 2$

$= \frac{1}{2} + \frac{4}{2}$

$= \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{2}$