関数 $f(x) = x^{\frac{2}{3}}(1-x)^{\frac{3}{2}}$ の定義域 $0 < x < 1$ における導関数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^{\frac{2}{3}}(1-x)^{\frac{3}{2}}$ の定義域 $0 < x < 1$ における導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の両辺の自然対数をとります。

$\ln f(x) = \ln \left(x^{\frac{2}{3}}(1-x)^{\frac{3}{2}}\right)$

対数の性質を使って展開します。

$\ln f(x) = \frac{2}{3} \ln x + \frac{3}{2} \ln (1-x)$

両辺を $x$ で微分します。左辺は合成関数の微分になることに注意してください。

$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1-x} \cdot (-1)$

$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{2}{3x} - \frac{3}{2(1-x)}$

$f'(x)$ について解きます。

$f'(x) = f(x) \left(\frac{2}{3x} - \frac{3}{2(1-x)}\right)$

$f(x)$ を代入します。

$f'(x) = x^{\frac{2}{3}}(1-x)^{\frac{3}{2}} \left(\frac{2}{3x} - \frac{3}{2(1-x)}\right)$

括弧の中を整理します。通分して計算します。

$f'(x) = x^{\frac{2}{3}}(1-x)^{\frac{3}{2}} \left(\frac{4(1-x) - 9x}{6x(1-x)}\right)$

$f'(x) = x^{\frac{2}{3}}(1-x)^{\frac{3}{2}} \left(\frac{4-4x-9x}{6x(1-x)}\right)$

$f'(x) = x^{\frac{2}{3}}(1-x)^{\frac{3}{2}} \left(\frac{4-13x}{6x(1-x)}\right)$

式を整理します。

$f'(x) = \frac{x^{\frac{2}{3}}(1-x)^{\frac{3}{2}}(4-13x)}{6x(1-x)}$

$x^{\frac{2}{3}}/x = x^{\frac{2}{3}-1} = x^{-\frac{1}{3}}$, $(1-x)^{\frac{3}{2}}/(1-x) = (1-x)^{\frac{3}{2}-1} = (1-x)^{\frac{1}{2}}$より、

$f'(x) = \frac{(4-13x)(1-x)^{\frac{1}{2}}}{6x^{\frac{1}{3}}}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{(4-13x)\sqrt{1-x}}{6\sqrt[3]{x}}$